南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．求矩阵 $A$ 的全部特征值；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出特征多项式
设矩阵 $A$ 为 $n$ 阶方阵，特征多项式定义为 $f(\lambda) = \det(\lambda I - A)$。其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
公式：$f(\lambda) = \det(\lambda I - A)$
提示：注意是 $\lambda I - A$ 而不是 $A - \lambda I$，但两者行列式仅相差符号 $(-1)^n$，特征值相同。
步骤 2/5
目标：计算行列式得到特征多项式
将 $\lambda I - A$ 的具体矩阵写出，然后利用行列式的性质（如行变换、展开等）计算行列式，得到关于 $\lambda$ 的多项式 $f(\lambda)$。例如，若 $A$ 是 $2\times2$ 矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则 $f(\lambda) = (\lambda - a)(\lambda - d) - bc = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc)$。
提示：计算行列式时注意符号和代数运算，避免计算错误。
步骤 3/5
目标：令特征多项式等于零
特征值满足 $f(\lambda)=0$，因此解方程 $\det(\lambda I - A)=0$ 得到特征值。
公式：$f(\lambda)=0$
提示：特征多项式是 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，可能有重根。
步骤 4/5
目标：求解特征方程
将特征多项式因式分解或使用求根公式。例如，对于二次多项式 $\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc)=0$，解得 $\lambda = \frac{a+d \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4(ad-bc)}}{2}$。
公式：二次方程求根公式
提示：注意判别式可能为负，此时特征值为复数。
步骤 5/5
目标：列出所有特征值
将求得的根按代数重数列出。例如，若 $A$ 是 $2\times2$ 矩阵且判别式为零，则有一个二重特征值。
提示：特征值包括实数和复数，注意重数。
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