南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．求 $a, b$ 的值；
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题目要求
题目要求求解参数 $a$ 和 $b$ 的值，但未提供具体方程或条件。通常此类问题需要补充条件，例如多项式相等、方程组解的条件、矩阵秩的条件等。
提示：注意题目是否完整，常见条件如多项式恒等、线性方程组有解、二次型正定等。
步骤 2/8
目标：假设常见题型
假设题目为：已知多项式 $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$ 能被 $g(x)=x^2+1$ 整除，求 $a,b$。则根据整除性质，$f(x)$ 除以 $g(x)$ 余数为0。
公式：多项式除法：$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$，其中 $\deg r < \deg g$
提示：注意余数次数必须小于除式次数。
步骤 3/8
目标：进行多项式除法
计算 $f(x)$ 除以 $g(x)$：
$$\begin{aligned}
f(x) &= x^3+ax^2+bx+1 \\
&= x(x^2+1) + (a-1)x^2 + bx + 1 \\
&= x(x^2+1) + (a-1)(x^2+1) + (b - (a-1))x + (1 - (a-1)) \\
&= (x+a-1)(x^2+1) + (b-a+1)x + (2-a)
\end{aligned}$$
公式：多项式除法步骤
提示：注意系数计算要仔细，避免符号错误。
步骤 4/8
目标：令余式为零
整除要求余式 $r(x)=(b-a+1)x+(2-a)=0$ 对所有 $x$ 成立，故系数为零：
$$\begin{cases}
b-a+1=0 \\
2-a=0
\end{cases}$$
公式：多项式恒等条件：对应系数相等
提示：注意余式为零多项式，所有系数必须为零。
步骤 5/8
目标：解方程组
由 $2-a=0$ 得 $a=2$；代入 $b-a+1=0$ 得 $b-2+1=0$，即 $b=1$。
提示：代入时注意符号。
步骤 6/8
目标：验证结果
将 $a=2,b=1$ 代入 $f(x)=x^3+2x^2+x+1$，除以 $x^2+1$：
$$\begin{aligned}
x^3+2x^2+x+1 &= x(x^2+1) + 2x^2+1 \\
&= x(x^2+1) + 2(x^2+1) -1 \\
&= (x+2)(x^2+1) -1
\end{aligned}$$
余数为 $-1$，不为0？检查发现计算有误。
提示：验证步骤很重要，可发现计算错误。
步骤 7/8
目标：重新计算除法
正确计算：
$$\begin{aligned}
f(x) &= x^3+ax^2+bx+1 \\
&= x(x^2+1) + ax^2 + (b-1)x + 1 \\
&= x(x^2+1) + a(x^2+1) + (b-1)x + (1-a) \\
&= (x+a)(x^2+1) + (b-1)x + (1-a)
\end{aligned}$$
令余式 $(b-1)x+(1-a)=0$，得 $b-1=0$ 且 $1-a=0$，即 $a=1,b=1$。
提示：多项式除法要逐次消去最高次项，注意系数。
步骤 8/8
目标：最终答案
解得 $a=1$，$b=1$。
提示：最终答案需代入验证。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。