南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．$A B$ 是正定矩阵；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题：判断AB是否正定
题目要求判断$AB$是否为正定矩阵。已知$A,B$均为$n$阶实对称正定矩阵。正定矩阵的定义是：实对称且所有特征值大于0。因此需要分析$AB$的对称性和特征值。
提示：注意正定矩阵必须是对称的，但题目中$AB$不一定对称。
步骤 2/6
目标：分析对称性
由于$A,B$对称，即$A^T=A$, $B^T=B$。计算$(AB)^T = B^T A^T = BA$。一般$AB \neq BA$，因此$AB$不一定对称。例如，取$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$，则$AB=\begin{pmatrix}4&1\\2&2\end{pmatrix}$不对称。
公式：$(AB)^T = B^T A^T$
提示：矩阵乘法不交换，所以$AB$通常不对称。
步骤 3/6
目标：利用平方根分解研究特征值
因为$A$正定，存在对称正定矩阵$A^{1/2}$使得$A = A^{1/2} A^{1/2}$。考虑矩阵$A^{1/2} B A^{1/2}$。由于$B$正定，$A^{1/2} B A^{1/2}$是实对称正定矩阵，其特征值全为正实数。
公式：$A = A^{1/2} A^{1/2}$
提示：平方根分解要求$A$正定，且$A^{1/2}$唯一。
步骤 4/6
目标：证明AB与对称正定矩阵相似
计算$A^{1/2} B A^{1/2}$与$AB$的关系：$AB = A^{1/2} (A^{1/2} B) = A^{1/2} (A^{1/2} B A^{1/2}) A^{-1/2}$，因此$AB$相似于$A^{1/2} B A^{1/2}$。相似矩阵有相同的特征值，所以$AB$的特征值全为正实数。
公式：$AB = A^{1/2} (A^{1/2} B A^{1/2}) A^{-1/2}$
提示：注意$A^{1/2}$可逆，且$A^{-1/2}$是其逆。
步骤 5/6
目标：讨论可对角化性
由于$AB$相似于实对称矩阵$A^{1/2} B A^{1/2}$，而实对称矩阵可正交对角化，因此$AB$可对角化（尽管不一定对称）。
提示：相似于可对角化矩阵则自身可对角化。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上所述，$AB$的特征值全为正实数，且$AB$可对角化，但$AB$不一定对称。按照正定矩阵的通常定义（对称且特征值正），$AB$不一定是正定矩阵。然而，有些文献中放宽对称性要求，仅特征值正也称正定，但本题按标准定义。
提示：注意区分不同教材对正定的定义。
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