南京航空航天大学 2022年高等代数第0题

设实对称矩阵 $A$，解特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ 得到特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$。例如，对于 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，特征多项式为 $\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$，解得 $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3$。

对每个特征值 $\lambda_i$，解齐次线性方程组 $(A - \lambda_i I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$，得到基础解系。例如，对于 $\lambda_1 = 1$，解 $(A - I)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x} = \mathbf{0}$，得 $\mathbf{v}_1 = (1, -1)^T$；对于 $\lambda_2 = 3$，解 $(A - 3I)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\mathbf{x} = \mathbf{0}$，得 $\mathbf{v}_2 = (1, 1)^T$。

如果同一特征值有多个特征向量，需使用施密特正交化方法将其正交化。对于不同特征值的特征向量，由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量自动正交，无需正交化。本例中 $\mathbf{v}_1$ 与 $\mathbf{v}_2$ 正交（内积为0），故跳过此步。

将正交化后的每个特征向量除以它的模长，得到单位向量。例如，$\mathbf{v}_1 = (1, -1)^T$ 的模长为 $\sqrt{2}$，单位化得 $\mathbf{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)^T$；$\mathbf{v}_2 = (1, 1)^T$ 的模长为 $\sqrt{2}$，单位化得 $\mathbf{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)^T$。

将单位化后的特征向量按列排列成矩阵 $U$。例如，$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$。此时 $U$ 为正交矩阵，满足 $U^T U = I$。

计算 $U^T A U$ 是否等于对角矩阵 $\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$。例如，$U^T A U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$，正确。