南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
1．求 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,0)^{T}, \varepsilon_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ 。（＂$T$＂表示转置，以下各题相同）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确问题条件
题目要求求线性变换 $\sigma$ 在自然基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵 $A$，但未给出 $\sigma$ 的具体定义。因此，需要补充 $\sigma$ 的表达式或作用规则才能求解。
提示：注意：线性变换的矩阵依赖于基的选择，必须明确变换规则。
步骤 2/5
目标：假设线性变换定义
假设 $\sigma$ 由某个矩阵 $B$ 定义，例如 $\sigma(\mathbf{x}) = B\mathbf{x}$，则 $A = B$。或者 $\sigma$ 由对基向量的作用给出，例如 $\sigma(\varepsilon_1), \sigma(\varepsilon_2), \sigma(\varepsilon_3)$ 已知，则 $A$ 的列就是这些像在基下的坐标。
公式：$A = [\sigma(\varepsilon_1) \; \sigma(\varepsilon_2) \; \sigma(\varepsilon_3)]$
提示：矩阵的第 $j$ 列是 $\sigma(\varepsilon_j)$ 在基下的坐标。
步骤 3/5
目标：举例说明求解过程
例如，若 $\sigma$ 定义为 $\sigma(x_1,x_2,x_3) = (x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_1)^T$，则计算 $\sigma(\varepsilon_1) = (1,0,1)^T$，$\sigma(\varepsilon_2) = (1,1,0)^T$，$\sigma(\varepsilon_3) = (0,1,1)^T$。因此矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$\sigma(\varepsilon_j)$ 的坐标直接作为矩阵的列
提示：注意坐标顺序与基的顺序一致。
步骤 4/5
目标：一般步骤总结
1. 确定线性变换 $\sigma$ 的定义。2. 计算 $\sigma$ 在每个基向量上的作用结果。3. 将每个结果表示为基的线性组合，系数构成矩阵的列。4. 写出矩阵 $A$。
提示：若 $\sigma$ 由矩阵乘法给出，则矩阵就是 $A$。
步骤 5/5
目标：强调题目缺失信息
由于原题未提供 $\sigma$ 的具体信息，无法给出具体数值答案。请补充 $\sigma$ 的表达式或对基向量的作用。
提示：常见错误：忽略线性变换的定义直接猜测矩阵。
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