南开大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1、（30 分）若线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+a x_{3}=1 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+x_{3}=-2\end{array}\right.$ 有无穷多组解，求 $a$ 的值，并写出方程组的一般解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：判断无穷多解的条件
线性方程组有无穷多解当且仅当系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知数个数。即 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\bar{A}) < 3$。
提示：注意区分无解、唯一解和无穷多解的条件：无解时 $\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}(\bar{A})$；唯一解时 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\bar{A}) = 3$；无穷多解时 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\bar{A}) < 3$。
步骤 2/7
目标：写出系数矩阵和增广矩阵
系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}$，增广矩阵 $\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$。
提示：增广矩阵是系数矩阵右侧加上常数项列，注意不要写错位置。
步骤 3/7
目标：计算系数矩阵的行列式
计算 $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix}$。将第2、3行减去第1行：$\begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ 0 & 1-a & 1-a^2 \end{vmatrix}$。按第一行展开：$= 1 \cdot \begin{vmatrix} a-1 & 1-a \\ 1-a & 1-a^2 \end{vmatrix} = (a-1)(1-a^2) - (1-a)^2$。化简：$(a-1)(1-a^2) = (a-1)(1-a)(1+a) = -(a-1)^2(1+a)$，$(1-a)^2 = (a-1)^2$，所以 $|A| = -(a-1)^2(1+a) - (a-1)^2 = -(a-1)^2(a+2)$。
公式：行列式性质：行变换不改变行列式的值（但注意行减法不改变，行交换改变符号）。
提示：计算行列式时注意符号，尤其是提取公因子时。另外，化简时注意因式分解。
步骤 4/7
目标：求使行列式为零的a值
令 $|A|=0$ 得 $-(a-1)^2(a+2)=0$，解得 $a=1$ 或 $a=-2$。
提示：行列式为零是系数矩阵降秩的必要条件，但还需要验证增广矩阵的秩。
步骤 5/7
目标：验证a=1时的情况
当 $a=1$ 时，系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，秩为1。增广矩阵 $\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$，秩为2（因为前两行与第三行不成比例），所以 $\operatorname{rank}(A) \neq \operatorname{rank}(\bar{A})$，方程组无解。
提示：注意检查增广矩阵的秩是否等于系数矩阵的秩，不要只看到行列式为零就认为有无穷多解。
步骤 6/7
目标：验证a=-2时的情况
当 $a=-2$ 时，系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，秩为2（因为 $|A|=0$ 且存在2阶子式非零，如 $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$）。增广矩阵 $\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$，通过行变换化为行阶梯形：第2行减第1行得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$，第3行加2倍第1行得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & -3 & 0 \end{pmatrix}$，第3行加第2行得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为2。所以 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\bar{A}) = 2 < 3$，方程组有无穷多解。
提示：行变换要仔细，避免计算错误。注意检查最后一行是否全为零。
步骤 7/7
目标：求解方程组的一般解
由行阶梯形矩阵得等价方程组：$\begin{cases} x_1 + x_2 - 2x_3 = 1 \\ -3x_2 + 3x_3 = 0 \end{cases}$，即 $\begin{cases} x_1 + x_2 - 2x_3 = 1 \\ x_2 = x_3 \end{cases}$。代入得 $x_1 + x_3 - 2x_3 = 1$，即 $x_1 = 1 + x_3$。令 $x_3 = c$（$c$ 为自由未知量），则一般解为 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + c \\ c \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$c \in \mathbb{R}$。
提示：自由未知量可以任意取值，一般解要写成向量形式，注意特解和齐次解的结构。
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