📝 南开大学 2025年高等代数真题

1、（30 分）若线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+a x_{3}=1 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+x_{3}=-2\end{array}\right.$ 有无穷多组解，求 $a$ 的值，并写出方程组的一般解．

2、（20分）计算行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{lllll}0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0\end{array}\right|$ ．

3、（20分）求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的若尔当标准形

4、（20 分）若四阶正定矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=\left(\begin{array}{cccc}10 & -6 & 0 & 0 \\ -6 & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & -6 \\ 0 & 0 & -6 & 10\end{array}\right)$ ．求所有这样的 $A$ ．

5、（20分）设 $\displaystyle \mathscr{G}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换， $\displaystyle \mathscr{G}$ 的核记为 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{S}$ ，若 $V$是 $n$ 维线性空间，且存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{C}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{S}^{k+1}$ 成立。证明：对任意整数 $\displaystyle j \geq k$ 成立，有 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{C}^{j}=\operatorname{Ker} \mathscr{C}^{j+1}$ 。

6、（20 分）设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足：$\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B$ ，求证：$A$ 与 $B$ 相似当且仅当它们的秩相等．

7、（10 分）设 $\displaystyle V^{*}$ 是线性空间 $V$ 的对偶空间，$\displaystyle V_{1}^{*}, V_{2}^{*}$ 是 $\displaystyle V^{*}$ 的子空间，记

$$
\begin{aligned}
& W=\left\{v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_{1}^{*} \cap V_{2}^{*}\right\} \\
& W_{i}=\left\{v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_{i}^{*}, i=1,2\right\}
\end{aligned}
$$

证明：$\displaystyle W=W_{1}+W_{2}$ ．

8、（10 分）设 $\displaystyle B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}, C \in \mathbb{R}^{2 \times n}, D \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，且 $\displaystyle B, D$ 均为对称矩阵．设 $B$ 的两个特征值为 $\displaystyle \mu_{1}, \mu_{2}$ 。矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}B & C \\ C^{T} & D\end{array}\right)$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+2}$ ．求证： $\displaystyle \min \left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+2}\right\} \leq \min \left\{\mu_{1}, \mu_{2}\right\}$ ．