南开大学 2025年高等代数第5题
📝 题目
5、（20分）设 $\displaystyle \mathscr{G}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换， $\displaystyle \mathscr{G}$ 的核记为 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{S}$ ，若 $V$是 $n$ 维线性空间，且存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{C}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{S}^{k+1}$ 成立。证明：对任意整数 $\displaystyle j \geq k$ 成立，有 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{C}^{j}=\operatorname{Ker} \mathscr{C}^{j+1}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与待证结论
已知 $\mathscr{G}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，存在正整数 $k$ 使得 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^k = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+1}$。需要证明：对任意整数 $j \geq k$，有 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^j = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{j+1}$。
提示：注意核的定义：$\operatorname{Ker} \mathscr{G}^m = \{ x \in V \mid \mathscr{G}^m(x)=0 \}$。
步骤 2/6
目标：证明核的包含关系：$\operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+2} \subseteq \operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$
任取 $x \in \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+2}$，则 $\mathscr{G}^{k+2}(x)=0$，即 $\mathscr{G}^{k+1}(\mathscr{G}(x))=0$，所以 $\mathscr{G}(x) \in \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+1} = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$。于是 $\mathscr{G}^k(\mathscr{G}(x))=0$，即 $\mathscr{G}^{k+1}(x)=0$，故 $x \in \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+1} = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$。因此 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+2} \subseteq \operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$。
公式：$\operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+1} = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$
提示：注意利用已知条件将 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+1}$ 替换为 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$。
步骤 3/6
目标：证明 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^k = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+2}$
显然 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^k \subseteq \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+2}$（因为若 $\mathscr{G}^k(x)=0$，则 $\mathscr{G}^{k+2}(x)=\mathscr{G}^2(\mathscr{G}^k(x))=0$）。结合上一步的包含关系，得 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^k = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+2}$。
提示：注意线性变换的复合性质：$\mathscr{G}^{k+2} = \mathscr{G}^2 \circ \mathscr{G}^k$。
步骤 4/6
目标：用数学归纳法证明：对任意 $m \geq 0$，有 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^k = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+m}$
基础：$m=0$ 时显然；$m=1$ 时已知成立。归纳假设：设 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^k = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+m}$ 对某个 $m \geq 1$ 成立。考虑 $m+1$：任取 $x \in \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+m+1}$，则 $\mathscr{G}^{k+m+1}(x)=0$，即 $\mathscr{G}^{k+m}(\mathscr{G}(x))=0$，所以 $\mathscr{G}(x) \in \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+m} = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$，于是 $\mathscr{G}^k(\mathscr{G}(x))=0$，即 $\mathscr{G}^{k+1}(x)=0$，故 $x \in \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+1} = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$。因此 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+m+1} \subseteq \operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$。反包含显然，故相等。
公式：$\operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+m} = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$（归纳假设）
提示：归纳步骤中注意使用 $\mathscr{G}(x)$ 作为中间变量，并利用已知的 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^{k+1} = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$。
步骤 5/6
目标：将结论推广到任意 $j \geq k$
对任意 $j \geq k$，令 $m = j - k$，则 $j = k+m$，由归纳结论得 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^j = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$。又 $j+1 = k+(m+1)$，同样有 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^{j+1} = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^k$。因此 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^j = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{j+1}$。
提示：注意 $j \geq k$ 保证了 $m \geq 0$，从而可以应用归纳结论。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，对任意整数 $j \geq k$，有 $\operatorname{Ker} \mathscr{G}^j = \operatorname{Ker} \mathscr{G}^{j+1}$，命题得证。
提示：该结论表明核序列在 $k$ 步后稳定。
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