南开大学 2025年高等代数第6题
📝 题目
6、（20 分）设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足：$\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B$ ，求证：$A$ 与 $B$ 相似当且仅当它们的秩相等．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明必要性：相似推出秩相等
若 $A$ 与 $B$ 相似，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。由于相似矩阵具有相同的秩，故 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$。
公式：$B = P^{-1}AP$
提示：注意相似变换不改变秩，这是线性代数中的基本结论。
步骤 2/5
目标：分析幂等矩阵的性质
由 $A^2 = A$ 知 $A$ 是幂等矩阵。幂等矩阵的特征值只能是 $0$ 或 $1$，且可对角化。事实上，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $r = \operatorname{rank}(A)$。
公式：$A^2 = A$
提示：幂等矩阵的秩等于迹，且特征值只有0和1，但这里直接用标准型。
步骤 3/5
目标：对B进行同样的对角化
同理，由于 $B^2 = B$，存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}BQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $r = \operatorname{rank}(B)$。
公式：$Q^{-1}BQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：注意这里假设秩相等，所以对角化后的矩阵形式相同。
步骤 4/5
目标：由标准型相等推出相似
由前两步得 $P^{-1}AP = Q^{-1}BQ$，左乘 $P$ 得 $AP = PQ^{-1}BQ$，再右乘 $Q^{-1}$ 得 $APQ^{-1} = PQ^{-1}B$，即 $A (PQ^{-1}) = (PQ^{-1}) B$。令 $R = PQ^{-1}$，则 $R$ 可逆，且 $AR = RB$，即 $B = R^{-1}AR$，故 $A$ 与 $B$ 相似。
公式：$P^{-1}AP = Q^{-1}BQ \Rightarrow B = (PQ^{-1})^{-1} A (PQ^{-1})$
提示：注意矩阵乘法的顺序，确保变换矩阵可逆。
步骤 5/5
目标：总结结论
必要性已证，充分性已证，故 $A$ 与 $B$ 相似当且仅当 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$。
提示：充分性中关键利用幂等矩阵可对角化为相同标准型。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。