南开大学 2025年高等代数第7题
📝 题目
7、（10 分）设 $\displaystyle V^{*}$ 是线性空间 $V$ 的对偶空间，$\displaystyle V_{1}^{*}, V_{2}^{*}$ 是 $\displaystyle V^{*}$ 的子空间，记
$$
\begin{aligned}
& W=\left\{v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_{1}^{*} \cap V_{2}^{*}\right\} \\
& W_{i}=\left\{v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_{i}^{*}, i=1,2\right\}
\end{aligned}
$$
证明：$\displaystyle W=W_{1}+W_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确符号和定义
设 $V$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，$V^*$ 是其对偶空间。定义 $W = \{ v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_1^* \cap V_2^* \}$，$W_i = \{ v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_i^* \}$，$i=1,2$。需证 $W = W_1 + W_2$。
提示：注意 $W$ 和 $W_i$ 的定义：它们都是 $V$ 的子空间，由对偶空间中的线性泛函的零化子给出。
步骤 2/6
目标：证明 $W_1 + W_2 \subseteq W$
任取 $w \in W_1 + W_2$，则存在 $w_1 \in W_1$，$w_2 \in W_2$ 使得 $w = w_1 + w_2$。对任意 $f \in V_1^* \cap V_2^*$，有 $f \in V_1^*$ 且 $f \in V_2^*$，因此 $f(w_1)=0$，$f(w_2)=0$，从而 $f(w)=f(w_1)+f(w_2)=0$。故 $w \in W$，所以 $W_1+W_2 \subseteq W$。
提示：注意 $f$ 同时属于 $V_1^*$ 和 $V_2^*$，所以对 $w_1$ 和 $w_2$ 都为零。
步骤 3/6
目标：引入零化子记号
记 $S^0 = \{ v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in S \}$，其中 $S \subseteq V^*$。则 $W = (V_1^* \cap V_2^*)^0$，$W_1 = (V_1^*)^0$，$W_2 = (V_2^*)^0$。
提示：零化子 $S^0$ 是 $V$ 的子空间，且对偶空间中的子空间与 $V$ 的子空间有对偶关系。
步骤 4/6
目标：利用对偶空间的性质
对于有限维线性空间 $V$，对偶空间 $V^*$ 的子空间 $U_1, U_2$，有 $(U_1 \cap U_2)^0 = U_1^0 + U_2^0$。这是对偶空间中的一个标准结论。
公式：$(U_1 \cap U_2)^0 = U_1^0 + U_2^0$
提示：该结论的证明需要用到维数公式或对偶基，注意 $V$ 是有限维的。
步骤 5/6
目标：应用性质得到包含关系
由上述性质，取 $U_1 = V_1^*$，$U_2 = V_2^*$，则 $(V_1^* \cap V_2^*)^0 = (V_1^*)^0 + (V_2^*)^0$，即 $W = W_1 + W_2$。
提示：直接代入零化子定义即可得到等式。
步骤 6/6
目标：总结证明
由步骤2和步骤5，我们得到 $W_1+W_2 \subseteq W$ 和 $W \subseteq W_1+W_2$，因此 $W = W_1+W_2$。证毕。
提示：注意两个方向的包含关系缺一不可。
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