南开大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6、设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 为实正定矩阵，证明：$\displaystyle |A| \leq a_{11} a_{22} \cdots \cdots a_{n n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件和目标
已知 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 是实正定矩阵，要证明 $|A| \leq a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$。正定矩阵的所有顺序主子式大于零，且对角线元素 $a_{ii} > 0$。
提示：注意正定矩阵的定义：对任意非零列向量 $x$，有 $x^T A x > 0$。
步骤 2/7
目标：考虑顺序主子式并引入归纳法
设 $A_k$ 为 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式，即 $A_k = (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq k}$。由于 $A$ 正定，$A_k$ 也正定，故 $|A_k| > 0$。采用数学归纳法：当 $n=1$ 时，$|A| = a_{11}$，不等式取等号，成立。假设对 $n-1$ 阶正定矩阵结论成立。
提示：归纳假设要明确：对任意 $n-1$ 阶实正定矩阵 $B$，有 $|B| \leq b_{11} b_{22} \cdots b_{n-1,n-1}$。
步骤 3/7
目标：将 $n$ 阶矩阵分块
将 $A$ 分块为 $A = \begin{pmatrix} A_{n-1} & \alpha \\ \alpha^T & a_{nn} \end{pmatrix}$，其中 $A_{n-1}$ 是 $n-1$ 阶顺序主子式，$\alpha = (a_{1n}, a_{2n}, \dots, a_{n-1,n})^T$。由于 $A$ 正定，$A_{n-1}$ 正定，$a_{nn} > 0$。
提示：分块时注意 $\alpha$ 是列向量，$\alpha^T$ 是行向量。
步骤 4/7
目标：应用 Schur 补公式计算行列式
利用行列式的 Schur 补公式：$|A| = |A_{n-1}| \cdot (a_{nn} - \alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha)$。因为 $A_{n-1}$ 正定，$A_{n-1}^{-1}$ 也正定，所以 $\alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha \geq 0$，从而 $a_{nn} - \alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha \leq a_{nn}$。
公式：$|A| = |A_{n-1}| \cdot (a_{nn} - \alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha)$
提示：Schur 补公式要求 $A_{n-1}$ 可逆，这里正定矩阵可逆，满足条件。
步骤 5/7
目标：利用归纳假设得到不等式
由归纳假设，$|A_{n-1}| \leq a_{11} a_{22} \cdots a_{n-1,n-1}$。代入上式得 $|A| = |A_{n-1}| \cdot (a_{nn} - \alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha) \leq (a_{11} a_{22} \cdots a_{n-1,n-1}) \cdot a_{nn} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$。
提示：注意 $a_{nn} - \alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha \leq a_{nn}$ 是因为 $\alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha \geq 0$。
步骤 6/7
目标：讨论等号成立条件
等号成立当且仅当 $\alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha = 0$。由于 $A_{n-1}^{-1}$ 正定，$\alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha = 0$ 当且仅当 $\alpha = 0$，即 $a_{1n} = a_{2n} = \cdots = a_{n-1,n} = 0$。结合归纳过程，这等价于 $A$ 为对角矩阵。
提示：正定矩阵的二次型为零当且仅当向量为零向量。
步骤 7/7
目标：总结结论
由数学归纳法，对任意 $n$ 阶实正定矩阵 $A$，有 $|A| \leq a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$，等号成立当且仅当 $A$ 为对角矩阵。
提示：注意该不等式是 Hadamard 不等式在正定矩阵情形下的特例。
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