📝 南开大学 2026年高等代数真题

1、求次数最小的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得

$$
(x+1)^{3}\left|(f(x)-1),(x-1)^{2}\right|(f(x)+1) .
$$

2、计算行列式 $\displaystyle \left|A_{n}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1^{2} & 2^{2} & 3^{2} & \cdots & n^{2} \\ 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} & \cdots & (n+1)^{2} \\ 3^{2} & 4^{2} & 5^{2} & \cdots & (n+2)^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n^{2} & (n+1)^{2} & (n+2)^{2} & \cdots & (2 n-1)^{2}\end{array}\right|$ ．

3、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ ，如果方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有无穷多个解，求 $a$ 的值，并求正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{T} A Q$ 为对角矩阵．

4、设 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 为实数域，$\displaystyle \beta, \gamma \in \mathbb{R}^{n \times 1}, a \in \mathbb{R}$ ，证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \beta \\ \gamma^{T} & a\end{array}\right|=a|A|-\gamma^{T} A^{*} \beta$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵．

5、设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 都是有限维线性空间 $V$ 的子空间，证明：

$$
\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{2} \cap V_{3}\right)+\operatorname{dim}\left(\left(V_{2}+V_{3}\right) \cap V_{1}\right) .
$$

6、设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 为实正定矩阵，证明：$\displaystyle |A| \leq a_{11} a_{22} \cdots \cdots a_{n n}$ ．

7、设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实对称矩阵，线性变换 $\displaystyle \varphi: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ 定义为：

$$
\varphi(X)=A X A,\left(\forall X \in \mathbb{R}^{n \times n}\right) .
$$

（1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{1} \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的特征值．
（2）证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。

8、已知 $n$ 阶复方阵 $A$ 与 $B$ 的秩相等，且 $\displaystyle A^{2} B=A$ ，证明：$\displaystyle B^{2} A=B$ ．