南开大学 2026年高等代数第3题

方程组有无穷多解当且仅当系数矩阵A与增广矩阵(A|β)秩相等且小于3。首先计算A的行列式： \[\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = (a+2)(a-1)^2.\] 令\(\det(A)=0\)得\(a=1\)或\(a=-2\)。

当\(a=1\)时，\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)，\(\beta=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\)。增广矩阵为\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&-2\end{pmatrix}\)，秩为1，但第三行对应方程\(0=-3\)，矛盾，故无解。

当\(a=-2\)时，\(A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix}\)，\(\beta=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\)。增广矩阵为\(\begin{pmatrix}1&1&-2&1\\1&-2&1&1\\-2&1&1&-2\end{pmatrix}\)，行变换后秩为2，与系数矩阵秩相等，故有无穷多解。所以\(a=-2\)。

对于\(a=-2\)，\(A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix}\)。特征多项式为： \[\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 & 2 \\ -1 & \lambda+2 & -1 \\ 2 & -1 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-3)(\lambda+3)\lambda = \lambda(\lambda-3)(\lambda+3).\] 特征值为\(\lambda_1=0\)，\(\lambda_2=3\)，\(\lambda_3=-3\)。

解\((0I-A)x=0\)，即\(\begin{pmatrix}-1&-1&2\\-1&2&-1\\2&-1&-1\end{pmatrix}x=0\)。行化简得基础解系\(\xi_1=(1,1,1)^T\)。单位化：\(q_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T\)。

解\((3I-A)x=0\)，即\(\begin{pmatrix}2&-1&2\\-1&5&-1\\2&-1&2\end{pmatrix}x=0\)。行化简得基础解系\(\xi_2=(1,0,-1)^T\)。单位化：\(q_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T\)。

解\((-3I-A)x=0\)，即\(\begin{pmatrix}-4&-1&2\\-1&-1&-1\\2&-1&-4\end{pmatrix}x=0\)。行化简得基础解系\(\xi_3=(1,-2,1)^T\)。单位化：\(q_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1)^T\)。

由于不同特征值对应的特征向量已正交，取正交矩阵\(Q=(q_1,q_2,q_3)\)，即 \[Q=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.\] 则\(Q^T A Q = \operatorname{diag}(0,3,-3)\)。