南开大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4、设 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 为实数域，$\displaystyle \beta, \gamma \in \mathbb{R}^{n \times 1}, a \in \mathbb{R}$ ，证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \beta \\ \gamma^{T} & a\end{array}\right|=a|A|-\gamma^{T} A^{*} \beta$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入分块矩阵并假设A可逆
设 $M = \begin{pmatrix} A & \beta \\ \gamma^T & a \end{pmatrix}$，其中 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，$\beta, \gamma \in \mathbb{R}^{n \times 1}$，$a \in \mathbb{R}$。首先假设 $A$ 可逆，利用Schur补公式。
提示：注意分块矩阵的行列式公式仅在左上块可逆时直接使用，否则需用其他方法。
步骤 2/7
目标：构造分块初等矩阵并左乘
构造矩阵 $\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -\gamma^T A^{-1} & 1 \end{pmatrix}$，左乘 $M$ 得到：
$$
\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -\gamma^T A^{-1} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & \beta \\ \gamma^T & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & \beta \\ 0 & a - \gamma^T A^{-1} \beta \end{pmatrix}.
$$
公式：分块矩阵乘法
提示：左乘矩阵的行列式为1，因此不改变行列式的值。
步骤 3/7
目标：计算左乘后的行列式
由于左乘矩阵的行列式为 $\det(I_n) \cdot 1 = 1$，所以 $\det(M) = \det\begin{pmatrix} A & \beta \\ 0 & a - \gamma^T A^{-1} \beta \end{pmatrix}$。该矩阵是分块上三角矩阵，其行列式等于对角块行列式的乘积：$\det(A) \cdot (a - \gamma^T A^{-1} \beta)$。
公式：$\det\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} = \det(A) \det(D)$
提示：分块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积，注意B块不影响。
步骤 4/7
目标：用伴随矩阵替换逆矩阵
由 $A^{-1} = \frac{A^*}{\det(A)}$，代入得 $\det(M) = \det(A) \left( a - \gamma^T \frac{A^*}{\det(A)} \beta \right) = a \det(A) - \gamma^T A^* \beta$。
公式：$A^{-1} = \frac{A^*}{\det(A)}$
提示：注意伴随矩阵的定义：$A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，满足 $A A^* = A^* A = \det(A) I$。
步骤 5/7
目标：处理A不可逆的情况
当 $A$ 不可逆时，考虑 $A(t) = A + tI$，其中 $t$ 为实数。对于充分小的 $t \neq 0$，$A(t)$ 可逆。对 $A(t)$ 应用上述结果：
$$
\det\begin{pmatrix} A(t) & \beta \\ \gamma^T & a \end{pmatrix} = a \det(A(t)) - \gamma^T A(t)^* \beta.
$$
两边都是 $t$ 的多项式函数。
提示：注意 $A(t)^*$ 是 $t$ 的多项式矩阵，因为伴随矩阵的元素是代数余子式，是 $t$ 的多项式。
步骤 6/7
目标：取极限得到一般情况
令 $t \to 0$，由连续性（多项式函数连续）得：
$$
\det\begin{pmatrix} A & \beta \\ \gamma^T & a \end{pmatrix} = a \det(A) - \gamma^T A^* \beta.
$$
该等式对任意 $A$ 成立。
提示：极限过程要求 $t \to 0$ 时等式两边连续，注意 $\det(A(t))$ 和 $A(t)^*$ 都是 $t$ 的多项式，因此连续。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，对于任意 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，$\beta, \gamma \in \mathbb{R}^{n \times 1}$，$a \in \mathbb{R}$，有
$$
\left|\begin{array}{cc}A & \beta \\ \gamma^{T} & a\end{array}\right| = a|A| - \gamma^{T} A^{*} \beta.
$$
提示：该公式是分块矩阵行列式的重要结论，常用于计算和理论推导。
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