南开大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7、设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实对称矩阵，线性变换 $\displaystyle \varphi: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ 定义为：
$$
\varphi(X)=A X A,\left(\forall X \in \mathbb{R}^{n \times n}\right) .
$$
（1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{1} \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的特征值．
（2）证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造特征向量并验证特征值
设 $\alpha, \beta$ 分别是 $A$ 属于特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 的特征向量，即 $A\alpha = \lambda_1\alpha$, $A\beta = \lambda_2\beta$。考虑矩阵 $X = \alpha \beta^T$，则 $\varphi(X) = A(\alpha \beta^T)A = (A\alpha)(\beta^T A)$。由于 $A$ 对称，$\beta^T A = (A\beta)^T = (\lambda_2 \beta)^T = \lambda_2 \beta^T$，故 $\varphi(X) = \lambda_1 \lambda_2 \alpha \beta^T = \lambda_1 \lambda_2 X$。因此 $\lambda_1 \lambda_2$ 是 $\varphi$ 的特征值，$X$ 为对应的特征向量。
公式：$\varphi(X) = A X A$
提示：注意 $A$ 是对称矩阵，所以 $\beta^T A = (A\beta)^T$；特征向量 $\alpha, \beta$ 不一定相同，但 $X = \alpha \beta^T$ 非零。
步骤 2/4
目标：利用对称性对角化A
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 为 $A$ 的特征值。定义线性变换 $\psi: \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}^{n \times n}$ 为 $\psi(Y) = \Lambda Y \Lambda$。则 $\varphi$ 与 $\psi$ 相似，因为 $\varphi(X) = A X A = Q \Lambda Q^T X Q \Lambda Q^T$，令 $Y = Q^T X Q$，则 $\varphi(X) = Q \psi(Y) Q^T$，且 $X \mapsto Y$ 是线性同构。因此 $\varphi$ 可对角化当且仅当 $\psi$ 可对角化。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：注意 $Q$ 是正交矩阵，$Q^T = Q^{-1}$；变换 $X \mapsto Y$ 是线性同构，保持可对角化性质。
步骤 3/4
目标：计算ψ在标准基下的作用
考虑 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 的标准基 $E_{ij}$（第 $i$ 行第 $j$ 列为1，其余为0），则 $\psi(E_{ij}) = \Lambda E_{ij} \Lambda$。由于 $\Lambda$ 是对角矩阵，$\Lambda E_{ij}$ 的第 $i$ 行为 $\lambda_i$ 乘以 $E_{ij}$ 的第 $i$ 行，再右乘 $\Lambda$ 得到 $\lambda_i \lambda_j E_{ij}$。因此 $\psi(E_{ij}) = \lambda_i \lambda_j E_{ij}$。
公式：$\psi(E_{ij}) = \lambda_i \lambda_j E_{ij}$
提示：计算时注意矩阵乘法顺序：先左乘 $\Lambda$ 再右乘 $\Lambda$，结果是对 $E_{ij}$ 的每个元素乘以 $\lambda_i \lambda_j$。
步骤 4/4
目标：得出ψ可对角化
由于每个 $E_{ij}$ 是 $\psi$ 的特征向量，对应特征值 $\lambda_i \lambda_j$，且 $\{E_{ij}\}$ 构成 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 的一组基，所以 $\psi$ 在该基下的矩阵是对角矩阵（对角元为 $\lambda_i \lambda_j$）。因此 $\psi$ 可对角化，从而 $\varphi$ 可对角化。即存在 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 的一组基，使得 $\varphi$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。
提示：注意 $\psi$ 在基 $\{E_{ij}\}$ 下的矩阵就是对角矩阵，因为每个基向量被映射为自身的倍数。
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