南开大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5、设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 都是有限维线性空间 $V$ 的子空间，证明：
$$
\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{2} \cap V_{3}\right)+\operatorname{dim}\left(\left(V_{2}+V_{3}\right) \cap V_{1}\right) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：引入维数公式
对于任意两个子空间 $U$ 和 $W$，有维数公式：$\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$。
公式：\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)
提示：注意维数公式适用于有限维线性空间，且子空间的和与交都是子空间。
步骤 2/8
目标：写出涉及 $V_1+V_2$ 和 $V_2+V_3$ 的维数公式
由维数公式得：
$$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$$
$$\dim(V_2+V_3) = \dim V_2 + \dim V_3 - \dim(V_2 \cap V_3)$$
公式：\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)
提示：注意不要混淆下标，确保每个公式对应正确的子空间。
步骤 3/8
目标：写出 $(V_1+V_2) \cap V_3$ 的维数公式
考虑 $V_1+V_2$ 和 $V_3$ 的和与交，由维数公式得：
$$\dim((V_1+V_2) \cap V_3) = \dim(V_1+V_2) + \dim V_3 - \dim(V_1+V_2+V_3)$$
公式：\dim((V_1+V_2) \cap V_3) = \dim(V_1+V_2) + \dim V_3 - \dim(V_1+V_2+V_3)
提示：注意这里 $V_1+V_2$ 和 $V_3$ 的和就是 $V_1+V_2+V_3$，不要写成 $V_1+V_2+V_3$ 的维数公式。
步骤 4/8
目标：写出 $V_1 \cap (V_2+V_3)$ 的维数公式
考虑 $V_1$ 和 $V_2+V_3$ 的和与交，由维数公式得：
$$\dim(V_1 \cap (V_2+V_3)) = \dim V_1 + \dim(V_2+V_3) - \dim(V_1+V_2+V_3)$$
公式：\dim(V_1 \cap (V_2+V_3)) = \dim V_1 + \dim(V_2+V_3) - \dim(V_1+V_2+V_3)
提示：注意 $V_1$ 和 $V_2+V_3$ 的和也是 $V_1+V_2+V_3$。
步骤 5/8
目标：代入 $\dim(V_1+V_2)$ 和 $\dim(V_2+V_3)$ 的表达式
将第二步的表达式代入第三步和第四步的公式中：
$$\dim((V_1+V_2) \cap V_3) = (\dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)) + \dim V_3 - \dim(V_1+V_2+V_3)$$
$$\dim(V_1 \cap (V_2+V_3)) = \dim V_1 + (\dim V_2 + \dim V_3 - \dim(V_2 \cap V_3)) - \dim(V_1+V_2+V_3)$$
提示：代入时注意括号，避免符号错误。
步骤 6/8
目标：化简两个表达式
化简得：
$$\dim((V_1+V_2) \cap V_3) = \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - \dim(V_1 \cap V_2) - \dim(V_1+V_2+V_3)$$
$$\dim(V_1 \cap (V_2+V_3)) = \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - \dim(V_2 \cap V_3) - \dim(V_1+V_2+V_3)$$
提示：注意两个表达式有相同的项 $\dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - \dim(V_1+V_2+V_3)$，仅差一个交的维数。
步骤 7/8
目标：相减得到关系式
将两个表达式相减：
$$\dim((V_1+V_2) \cap V_3) - \dim(V_1 \cap (V_2+V_3)) = \dim(V_1 \cap V_2) - \dim(V_2 \cap V_3)$$
提示：注意移项时符号变化。
步骤 8/8
目标：移项得到待证等式
移项得：
$$\dim(V_1 \cap V_2) + \dim((V_1+V_2) \cap V_3) = \dim(V_2 \cap V_3) + \dim((V_2+V_3) \cap V_1)$$
证毕。
提示：注意等式右边第二项是 $\dim((V_2+V_3) \cap V_1)$，与 $\dim(V_1 \cap (V_2+V_3))$ 相同，因为交运算交换。
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