南开大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8、已知 $n$ 阶复方阵 $A$ 与 $B$ 的秩相等，且 $\displaystyle A^{2} B=A$ ，证明：$\displaystyle B^{2} A=B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用秩相等条件进行相似标准化
由于 $A$ 是 $n$ 阶复方阵，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1} A P = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $r = \operatorname{rank}(A)$。令 $P^{-1} B P = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$，其中 $B_{11}$ 是 $r \times r$ 块。
公式：P^{-1} A P = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：注意 $A$ 的秩为 $r$，因此其标准形中左上角是 $r$ 阶单位阵。
步骤 2/6
目标：代入条件 $A^2 B = A$ 得到块矩阵关系
将 $A$ 和 $B$ 的相似标准形代入 $A^2 B = A$，得 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。计算左边得 $\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，因此 $B_{11} = I_r$，$B_{12} = 0$。
公式：\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：注意矩阵乘法顺序：$A^2 B$ 先算 $A^2$ 再乘 $B$。
步骤 3/6
目标：利用秩相等条件确定 $B_{22}$
由 $B_{11}=I_r$，$B_{12}=0$，得 $P^{-1} B P = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$。由于 $\operatorname{rank}(B) = r$，而该矩阵的秩至少为 $r$（前 $r$ 行线性无关），且等于 $r$ 当且仅当 $B_{22}=0$，否则后 $n-r$ 行会贡献额外的秩。因此 $B_{22}=0$。
公式：\operatorname{rank}\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} = r \iff B_{22}=0
提示：注意 $B_{21}$ 可以是任意矩阵，不影响秩为 $r$ 的条件。
步骤 4/6
目标：得到 $B$ 的相似标准形
因此 $P^{-1} B P = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ B_{21} & 0 \end{pmatrix}$。
公式：P^{-1} B P = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ B_{21} & 0 \end{pmatrix}
提示：此时 $B$ 的左上角是 $r$ 阶单位阵，右下角为零矩阵。
步骤 5/6
目标：计算 $B^2 A$ 的相似标准形
计算 $P^{-1} B^2 A P = (P^{-1} B P)^2 (P^{-1} A P)$。先计算 $(P^{-1} B P)^2 = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ B_{21} & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ B_{21} & 0 \end{pmatrix}$，再乘以 $P^{-1} A P = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，得 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ B_{21} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ B_{21} & 0 \end{pmatrix} = P^{-1} B P$。
公式：(P^{-1} B P)^2 = P^{-1} B P
提示：注意 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ B_{21} & 0 \end{pmatrix}$ 是幂等矩阵。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $P^{-1} B^2 A P = P^{-1} B P$，左乘 $P$ 右乘 $P^{-1}$ 得 $B^2 A = B$。
公式：B^2 A = B
提示：相似变换保持矩阵等式，因此结论成立。
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