南昌大学 2024年高等代数第1题
📝 题目
1．已知 $\displaystyle f(x)=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}$ ，证明：$\displaystyle f(x) \mid\left[f(x)+x^{n}\right]^{2}-x^{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将f(x)表示为分式形式
已知 $f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}$，这是等比数列求和，当 $x \neq 1$ 时，$f(x)=\frac{1-x^n}{1-x}$。由于多项式恒等，该等式作为多项式恒成立。
公式：$f(x)=\frac{1-x^n}{1-x}$
提示：注意等比数列求和公式的使用条件，但多项式恒等可忽略分母为零的情况。
步骤 2/7
目标：计算f(x)+x^n
$f(x)+x^n = (1+x+\cdots+x^{n-1})+x^n = 1+x+\cdots+x^{n-1}+x^n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$。
公式：$f(x)+x^n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$
提示：注意求和项数变为n+1项。
步骤 3/7
目标：代入目标表达式并通分
计算 $[f(x)+x^n]^2 - x^n = \left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)^2 - x^n = \frac{(1-x^{n+1})^2 - x^n(1-x)^2}{(1-x)^2}$。
提示：通分时注意分母为$(1-x)^2$。
步骤 4/7
目标：展开分子并化简
展开分子：$(1-x^{n+1})^2 = 1 - 2x^{n+1} + x^{2n+2}$，$x^n(1-x)^2 = x^n(1 - 2x + x^2) = x^n - 2x^{n+1} + x^{n+2}$。相减得：$1 - 2x^{n+1} + x^{2n+2} - x^n + 2x^{n+1} - x^{n+2} = 1 - x^n + x^{2n+2} - x^{n+2}$。
提示：注意合并同类项时$-2x^{n+1}+2x^{n+1}$抵消。
步骤 5/7
目标：因式分解分子
分子 $1 - x^n + x^{2n+2} - x^{n+2} = (1 - x^n) + x^{n+2}(x^n - 1) = (1 - x^n) - x^{n+2}(1 - x^n) = (1 - x^n)(1 - x^{n+2})$。
公式：$1 - x^n + x^{2n+2} - x^{n+2} = (1 - x^n)(1 - x^{n+2})$
提示：提取公因式时注意符号变化。
步骤 6/7
目标：用f(x)表示分子中的因子
由 $f(x)=\frac{1-x^n}{1-x}$ 得 $1-x^n = (1-x)f(x)$。又 $1-x^{n+2} = (1-x)(1+x+\cdots+x^{n+1})$。代入分子：$(1-x)f(x) \cdot (1-x)(1+x+\cdots+x^{n+1}) = (1-x)^2 f(x)(1+x+\cdots+x^{n+1})$。
公式：$1-x^n = (1-x)f(x)$，$1-x^{n+2} = (1-x)(1+x+\cdots+x^{n+1})$
提示：注意第二个因式的展开项数为n+2项。
步骤 7/7
目标：约分得到整除关系
代入原式：$[f(x)+x^n]^2 - x^n = \frac{(1-x)^2 f(x)(1+x+\cdots+x^{n+1})}{(1-x)^2} = f(x)(1+x+\cdots+x^{n+1})$。因此 $f(x)$ 整除 $[f(x)+x^n]^2 - x^n$。
公式：$[f(x)+x^n]^2 - x^n = f(x)(1+x+\cdots+x^{n+1})$
提示：约分时确保分母不为零，但多项式恒等成立。
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