📝 南昌大学 2024年高等代数真题

1．已知 $\displaystyle f(x)=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}$ ，证明：$\displaystyle f(x) \mid\left[f(x)+x^{n}\right]^{2}-x^{n}$ ．

2．计算 $n$ 阶行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
x_{1}^{2}-2 & x_{1} x_{2} & \cdots & x_{1} x_{n} \\
x_{2} x_{1} & x_{2}^{2}-2 & \cdots & x_{2} x_{n} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
x_{n} x_{1} & x_{1} x_{2} & \cdots & x_{n}^{2}-2
\end{array}\right|
$$

3．设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)(i=1,2, \cdots, s)$ ，且方程组满足

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$

的解满足 $\displaystyle b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=0$ 的解，记 $\displaystyle \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ ，证明：$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出．

4．已知 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是 $n$ 级正定矩阵，证明：
（1）$\displaystyle a_{i i}>0(i=1,2, \cdots, n)$
（2） $\displaystyle 2\left|a_{i j}\right|<a_{i i}+a_{j j},(i \neq j)$ ．
（3）$A$ 的所有元素中绝对值最大的元素一定在主对角线上．

5．若 $A$ 是 $n$ 阶方阵，证明：（1）$\displaystyle A^{n}=0$ 当且仅当 $A$ 的特征值全为 0 ；（2）若 $\displaystyle A^{n}=0$ ，则 $\displaystyle |A+E|=1$ ．

6．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, n \geq 2$ 的矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，证明：$\displaystyle \left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ．

7．设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1} x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+t x_{2} x_{3}$ ，问：
（1）当 $t$ 为何值时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 正定；
（2）当 $\displaystyle t=1$ 时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 对应矩阵 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle m_{A}(\lambda)$ ．

8．已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle A^{100}$ ．

9．设矩阵 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)=(\lambda+1)^{3}(\lambda-2)^{2}(\lambda+3)$ ，最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)= (\lambda+1)^{2}(\lambda-2)(\lambda+3)$ ，求：（1）$A$ 的所有不变因子；（2）$A$ 的若尔当标准型．

10．设 $A$ 为 $n$ 阶非零实矩阵，$\displaystyle n \geq 3$ ，且 $\displaystyle A^{T}=A^{*}$ ，证明：（1）$\displaystyle |A|>0$ ；（2）$A$ 为正交矩阵。