南昌大学 2024年高等代数第2题
📝 题目
2．计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
x_{1}^{2}-2 & x_{1} x_{2} & \cdots & x_{1} x_{n} \\
x_{2} x_{1} & x_{2}^{2}-2 & \cdots & x_{2} x_{n} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
x_{n} x_{1} & x_{1} x_{2} & \cdots & x_{n}^{2}-2
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将行列式表示为矩阵形式
令向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$，则矩阵 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T$ 的第 $(i,j)$ 元素为 $x_i x_j$。因此行列式可写为 $D_n = \det(\mathbf{x}\mathbf{x}^T - 2I_n)$，其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
公式：$\mathbf{x}\mathbf{x}^T$ 是秩1矩阵
提示：注意 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T$ 是外积，不是内积。
步骤 2/5
目标：讨论特殊情况：$\mathbf{x} = \mathbf{0}$
当 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 时，所有 $x_i = 0$，则 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T = 0$，所以 $D_n = \det(-2I_n) = (-2)^n$。
公式：$\det(cI_n) = c^n$
提示：不要忘记零向量的情况。
步骤 3/5
目标：分析 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ 时矩阵的特征值
矩阵 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T$ 是秩1矩阵，其特征值为 $\|\mathbf{x}\|^2 = x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2$（对应特征向量 $\mathbf{x}$）和 $0$（$n-1$ 重）。因此 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T - 2I_n$ 的特征值为 $\|\mathbf{x}\|^2 - 2$ 和 $-2$（$n-1$ 重）。
公式：秩1矩阵的特征值：迹等于非零特征值
提示：注意 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T$ 的特征值推导：$\mathbf{x}\mathbf{x}^T \mathbf{x} = \|\mathbf{x}\|^2 \mathbf{x}$，且对于与 $\mathbf{x}$ 正交的向量，乘积为零。
步骤 4/5
目标：利用特征值计算行列式
行列式等于所有特征值的乘积，所以 $D_n = (\|\mathbf{x}\|^2 - 2) \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 - 2)$。
公式：$\det(A) = \prod \lambda_i$
提示：特征值乘积时注意重数。
步骤 5/5
目标：合并结果并给出最终表达式
综合两种情况，得到：
$$D_n = \begin{cases} (-2)^n, & \text{若 } x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0, \\ (-2)^{n-1}(x_1^2 + \dots + x_n^2 - 2), & \text{否则}. \end{cases}$$
提示：注意当 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ 时，$\|\mathbf{x}\|^2 - 2$ 可能为零，此时行列式为零。
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