南昌大学 2024年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, n \geq 2$ 的矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，证明：$\displaystyle \left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分情况讨论：|A| ≠ 0 和 |A| = 0
由于公式 $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$ 在 $|A| \neq 0$ 和 $|A| = 0$ 时均需成立，因此分两种情况证明。
提示：注意 $n \geq 2$，当 $n=2$ 时 $|A|^{n-2}=|A|^0=1$，公式变为 $(A^*)^* = A$。
步骤 2/7
目标：情况1：|A| ≠ 0 时的推导
当 $|A| \neq 0$ 时，$A$ 可逆，且 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$，从而 $A^* = |A| A^{-1}$。于是
\[
(A^*)^* = (|A| A^{-1})^* = |A|^{n-1} (A^{-1})^*,
\]
这里用到性质 $(kA)^* = k^{n-1} A^*$。
公式：$(kA)^* = k^{n-1} A^*$
提示：注意 $k$ 是标量，$A$ 是 $n$ 阶矩阵。
步骤 3/7
目标：继续推导：利用 $(A^{-1})^*$ 的公式
由于 $A^{-1}$ 可逆，有 $(A^{-1})^* = |A^{-1}| (A^{-1})^{-1} = |A|^{-1} A$。代入上式得
\[
(A^*)^* = |A|^{n-1} \cdot |A|^{-1} A = |A|^{n-2} A.
\]
公式：$(A^{-1})^* = |A^{-1}| (A^{-1})^{-1}$
提示：注意 $|A^{-1}| = |A|^{-1}$，且 $(A^{-1})^{-1} = A$。
步骤 4/7
目标：情况2：|A| = 0 时的思路
当 $|A| = 0$ 时，$A$ 不可逆。考虑多项式 $f(t) = |A + tI|$，这是 $t$ 的 $n$ 次多项式，只有有限个根。因此存在 $\delta > 0$ 使得当 $0 < |t| < \delta$ 时，$|A + tI| \neq 0$。
提示：利用多项式连续性，构造可逆矩阵序列逼近不可逆矩阵。
步骤 5/7
目标：对可逆矩阵 $A_t = A + tI$ 应用情况1
令 $A_t = A + tI$，则当 $0 < |t| < \delta$ 时 $A_t$ 可逆，由情况1得
\[
(A_t^*)^* = |A_t|^{n-2} A_t.
\]
提示：注意 $A_t^*$ 的元素是 $t$ 的多项式，因为代数余子式是多项式。
步骤 6/7
目标：取极限 $t \to 0$ 得到结论
由于 $A_t^*$ 和 $(A_t^*)^*$ 的元素都是 $t$ 的多项式（连续函数），令 $t \to 0$，由连续性得
\[
(A^*)^* = |A|^{n-2} A.
\]
注意当 $n=2$ 时 $|A|^{n-2}=|A|^0=1$，公式仍成立。
提示：极限过程要求多项式连续性，确保 $t=0$ 时等式成立。
步骤 7/7
目标：总结结论
综合两种情况，对任意 $n \times n$ 矩阵 $A$（$n \geq 2$），有 $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$。
公式：$(A^*)^* = |A|^{n-2} A$
提示：注意 $n=2$ 时 $|A|^{0}=1$，公式简化为 $(A^*)^* = A$。
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