南昌大学 2024年高等代数第10题
📝 题目
10．设 $A$ 为 $n$ 阶非零实矩阵，$\displaystyle n \geq 3$ ，且 $\displaystyle A^{T}=A^{*}$ ，证明：（1）$\displaystyle |A|>0$ ；（2）$A$ 为正交矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知条件建立等式
由 $A^T = A^*$，两边取行列式得 $|A^T| = |A^*|$。因为 $|A^T| = |A|$，且 $|A^*| = |A|^{n-1}$（当 $|A| \neq 0$ 时成立，当 $|A|=0$ 时也成立），所以 $|A| = |A|^{n-1}$，即 $|A|(1 - |A|^{n-2}) = 0$。
公式：$|A^*| = |A|^{n-1}$
提示：注意 $|A^*| = |A|^{n-1}$ 对任意方阵成立，包括 $|A|=0$ 的情况。
步骤 2/5
目标：排除 $|A|=0$ 的可能性
假设 $|A|=0$，则 $A^* = A^T$ 且 $|A^*|=0$。由 $A A^* = |A| I = 0$ 得 $A A^T = 0$。设 $A$ 的行向量为 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$，则 $A A^T$ 的 $(i,i)$ 元为 $\|\alpha_i\|^2 = 0$，故每个行向量为零向量，从而 $A=0$，与 $A$ 非零矛盾。因此 $|A| \neq 0$。
公式：$A A^* = |A| I$
提示：利用 $A A^T = 0$ 推出每个行向量模长为0，从而 $A=0$。
步骤 3/5
目标：推导 $|A|$ 的可能取值
由 $|A| \neq 0$ 和 $|A| = |A|^{n-1}$ 得 $|A|^{n-2} = 1$。因为 $n \geq 3$，$n-2 \geq 1$，所以 $|A| = \pm 1$。
公式：$|A|^{n-2} = 1$
提示：注意 $n \geq 3$ 保证指数为正。
步骤 4/5
目标：证明 $|A| > 0$
假设 $|A| = -1$，则 $A^T A = -I$（因为 $A^T = A^* = |A| A^{-1} = -A^{-1}$，所以 $A^T A = -I$）。但 $A^T A$ 是半正定矩阵，对任意向量 $x$，$x^T (A^T A) x = \|Ax\|^2 \geq 0$，而 $-I$ 是负定矩阵，矛盾。因此 $|A| = 1 > 0$。
公式：$A^T A = |A| I$
提示：注意 $A^T A$ 半正定，而 $-I$ 负定，两者不可能相等。
步骤 5/5
目标：证明 $A$ 为正交矩阵
由 $|A| = 1$ 和 $A^T = A^*$，且 $A^* = |A| A^{-1} = A^{-1}$，所以 $A^T = A^{-1}$，即 $A^T A = I$，故 $A$ 是正交矩阵。
公式：$A^* = |A| A^{-1}$
提示：注意正交矩阵的定义是 $A^T A = I$。
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