南昌大学 2024年高等代数第4题
📝 题目
4．已知 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是 $n$ 级正定矩阵，证明：
（1）$\displaystyle a_{i i}>0(i=1,2, \cdots, n)$
（2） $\displaystyle 2\left|a_{i j}\right|<a_{i i}+a_{j j},(i \neq j)$ ．
（3）$A$ 的所有元素中绝对值最大的元素一定在主对角线上．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明对角线元素大于0
由于$A$是正定矩阵，对于任意非零列向量$x \in \mathbb{R}^n$，有$x^T A x > 0$。取$x = e_i$（第$i$个标准单位向量），则$e_i^T A e_i = a_{ii} > 0$。因此$a_{ii} > 0$对$i=1,2,\dots,n$成立。
公式：x^T A x > 0
提示：注意正定矩阵的定义：对任意非零向量$x$，二次型$x^T A x > 0$。
步骤 2/5
目标：构造二次型并利用正定性
考虑向量$x = e_i + t e_j$，其中$t \in \mathbb{R}$。则$x^T A x = (e_i + t e_j)^T A (e_i + t e_j) = a_{ii} + 2t a_{ij} + t^2 a_{jj}$。由于$A$正定，对于任意$t$，有$a_{ii} + 2t a_{ij} + t^2 a_{jj} > 0$。
公式：x^T A x = a_{ii} + 2t a_{ij} + t^2 a_{jj} > 0
提示：注意$e_i$和$e_j$是标准单位向量，$e_i^T A e_i = a_{ii}$，$e_i^T A e_j = a_{ij}$。
步骤 3/5
目标：利用二次函数判别式小于0
关于$t$的二次函数$a_{ii} + 2t a_{ij} + t^2 a_{jj}$恒正，故其判别式必须小于0：$(2a_{ij})^2 - 4 a_{ii} a_{jj} < 0$，即$a_{ij}^2 < a_{ii} a_{jj}$。
公式：\Delta = (2a_{ij})^2 - 4 a_{ii} a_{jj} < 0
提示：二次函数恒正的条件是二次项系数大于0且判别式小于0。这里$a_{jj}>0$已由(1)保证。
步骤 4/5
目标：应用均值不等式得到所需不等式
由均值不等式，$a_{ii} a_{jj} \leq \left(\frac{a_{ii}+a_{jj}}{2}\right)^2$，结合$a_{ij}^2 < a_{ii} a_{jj}$得$a_{ij}^2 < \left(\frac{a_{ii}+a_{jj}}{2}\right)^2$，开方得$|a_{ij}| < \frac{a_{ii}+a_{jj}}{2}$，即$2|a_{ij}| < a_{ii} + a_{jj}$。
公式：a_{ij}^2 < \left(\frac{a_{ii}+a_{jj}}{2}\right)^2
提示：注意$a_{ii}, a_{jj}>0$，均值不等式等号成立当且仅当$a_{ii}=a_{jj}$，但这里严格不等式。
步骤 5/5
目标：证明绝对值最大元素在主对角线上
假设存在$i \neq j$使得$|a_{ij}|$是$A$中绝对值最大的元素。由(2)知$2|a_{ij}| < a_{ii} + a_{jj}$，因此$|a_{ij}| < \max\{a_{ii}, a_{jj}\}$（因为$a_{ii}, a_{jj} > 0$）。这与$|a_{ij}|$是绝对值最大的元素矛盾。故绝对值最大的元素只能出现在主对角线上。
公式：2|a_{ij}| < a_{ii} + a_{jj} \Rightarrow |a_{ij}| < \max\{a_{ii}, a_{jj}\}
提示：注意$a_{ii}, a_{jj}$都是正数，所以它们的和的一半小于最大值。
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