南昌大学 2024年高等代数第9题

已知特征多项式 $f(\lambda) = (\lambda+1)^3(\lambda-2)^2(\lambda+3)$，故特征值为 $\lambda_1 = -1$（代数重数3），$\lambda_2 = 2$（代数重数2），$\lambda_3 = -3$（代数重数1）。最小多项式 $m(\lambda) = (\lambda+1)^2(\lambda-2)(\lambda+3)$，表明每个特征值对应的最大若尔当块阶数：$\lambda_1$ 为2，$\lambda_2$ 为1，$\lambda_3$ 为1。

矩阵阶数 $n = \deg f(\lambda) = 6$，故有6个不变因子 $d_1(\lambda) \mid d_2(\lambda) \mid \cdots \mid d_6(\lambda)$，且 $d_6(\lambda) = m(\lambda) = (\lambda+1)^2(\lambda-2)(\lambda+3)$。所有不变因子乘积等于 $f(\lambda)$。

设 $d_5(\lambda) = (\lambda+1)^{a_1}(\lambda-2)^{a_2}(\lambda+3)^{a_3}$，由 $d_5 \mid d_6$ 得 $a_1 \leq 2, a_2 \leq 1, a_3 \leq 1$。又 $d_1 \cdots d_5 = f(\lambda) / d_6 = (\lambda+1)(\lambda-2)$。

由于 $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_5$，且 $d_1 \cdots d_5 = (\lambda+1)(\lambda-2)$，次数为2，故 $d_5$ 必须包含所有因子，且 $d_5$ 整除 $d_6$，所以 $d_5(\lambda) = (\lambda+1)(\lambda-2)$。其余 $d_1=d_2=d_3=d_4=1$。验证整除：$1 \mid 1 \mid 1 \mid 1 \mid (\lambda+1)(\lambda-2) \mid (\lambda+1)^2(\lambda-2)(\lambda+3)$ 成立。因此不变因子为 $1,1,1,1,(\lambda+1)(\lambda-2),(\lambda+1)^2(\lambda-2)(\lambda+3)$。

将每个不变因子分解为互素的一次因式幂的乘积：$d_5 = (\lambda+1)(\lambda-2)$，$d_6 = (\lambda+1)^2(\lambda-2)(\lambda+3)$。初等因子为所有不可约因式的幂，即 $(\lambda+1)^2$（来自 $d_6$），$(\lambda+1)$（来自 $d_5$），$(\lambda-2)$（来自 $d_6$），$(\lambda-2)$（来自 $d_5$），$(\lambda+3)$（来自 $d_6$）。注意 $(\lambda-2)$ 出现两次，但指数均为1。

每个初等因子对应一个若尔当块：$(\lambda+1)^2$ 对应2阶若尔当块 $J_2(-1)$，$(\lambda+1)$ 对应1阶若尔当块 $J_1(-1)$，两个 $(\lambda-2)$ 对应两个1阶若尔当块 $J_1(2)$，$(\lambda+3)$ 对应1阶若尔当块 $J_1(-3)$。按顺序排列得若尔当标准型： $$J = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$$