南昌大学 2024年高等代数第8题
📝 题目
8．已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle A^{100}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算特征多项式
计算矩阵 $A$ 的特征多项式：$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \lambda - \frac{1}{2} \end{vmatrix} = (\lambda - \frac{3}{2})(\lambda - \frac{1}{2}) + \frac{1}{4} = \lambda^2 - 2\lambda + 1 = (\lambda - 1)^2$。
公式：$\det(\lambda I - A)=0$
提示：注意行列式展开时符号不要出错。
步骤 2/6
目标：求特征值和特征向量
特征值 $\lambda = 1$（二重）。解 $(I - A)\mathbf{x}=0$：$\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，得特征向量 $\mathbf{v}_1 = (1,1)^T$。由于只有一个线性无关的特征向量，$A$ 不能对角化。
公式：$(\lambda I - A)\mathbf{x}=0$
提示：注意二重根可能只有一个特征向量，需要求广义特征向量。
步骤 3/6
目标：求广义特征向量
解 $(A - I)\mathbf{x} = \mathbf{v}_1$：$\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。增广矩阵 $\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，取 $x_2=0$，得 $x_1=-2$，故广义特征向量 $\mathbf{v}_2 = (-2,0)^T$。
公式：$(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{v}_1$
提示：广义特征向量不唯一，但需保证与特征向量线性无关。
步骤 4/6
目标：构造可逆矩阵和Jordan标准形
令 $P = (\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，则 $P^{-1}AP = J = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。计算 $P^{-1}$：$\det(P)=2$，$P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1}AP = J$
提示：注意Jordan块中1的位置，以及逆矩阵计算。
步骤 5/6
目标：计算Jordan块的幂
由于 $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，有 $J^{100} = \begin{pmatrix} 1 & 100 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。一般地，$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
提示：注意Jordan块幂的公式，上三角元素为组合数。
步骤 6/6
目标：计算A的100次幂
$A^{100} = P J^{100} P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 100 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$。先乘前两个：$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 100 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 98 \\ 1 & 100 \end{pmatrix}$。再乘 $P^{-1}$：$\begin{pmatrix} 1 & 98 \\ 1 & 100 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -49 & 50 \\ -50 & 51 \end{pmatrix}$。
公式：$A^n = P J^n P^{-1}$
提示：矩阵乘法顺序和计算要仔细，避免算术错误。
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