南昌大学 2024年高等代数第3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)(i=1,2, \cdots, s)$ ，且方程组满足
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
的解满足 $\displaystyle b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=0$ 的解，记 $\displaystyle \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ ，证明：$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与符号设定
设方程组为 $A\mathbf{x}=0$，其中 $A$ 是 $s\times n$ 矩阵，行向量为 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$。已知 $A\mathbf{x}=0$ 的解都是 $\beta\mathbf{x}=0$ 的解，即 $\beta$ 与 $A$ 的行空间正交。
提示：注意区分行向量与列向量，$\alpha_i$ 是行向量，$\beta$ 也是行向量。
步骤 2/6
目标：引入解空间与行空间
记 $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid A\mathbf{x}=0\}$ 为解空间，则 $W$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。$A$ 的行空间为 $\operatorname{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}$，记为 $R(A)$。由线性代数理论，$W$ 与 $R(A)$ 互为 $\mathbb{R}^n$ 中的正交补，即 $W^\perp = R(A)$。
公式：$W^\perp = R(A)$
提示：正交补的定义：$W^\perp = \{\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n \mid \mathbf{y}\cdot\mathbf{x}=0, \forall \mathbf{x}\in W\}$。
步骤 3/6
目标：条件转化为正交关系
已知 $A\mathbf{x}=0$ 的解都满足 $\beta\mathbf{x}=0$，即对任意 $\mathbf{x}\in W$，有 $\beta\mathbf{x}=0$。这意味着 $\beta$ 与 $W$ 中所有向量正交，因此 $\beta \in W^\perp$。
公式：$\forall \mathbf{x}\in W, \beta\mathbf{x}=0 \Rightarrow \beta \in W^\perp$
提示：注意 $\beta\mathbf{x}$ 是行向量与列向量的内积，结果为标量。
步骤 4/6
目标：利用正交补性质
由 $W^\perp = R(A)$，且 $\beta \in W^\perp$，故 $\beta \in R(A)$。即 $\beta$ 属于 $A$ 的行空间。
公式：$\beta \in W^\perp = R(A)$
提示：行空间是行向量的所有线性组合构成的集合。
步骤 5/6
目标：线性表出的结论
由于 $\beta$ 属于行空间，存在一组系数 $k_1,\dots,k_s$ 使得 $\beta = k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s$。因此 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性表出。
公式：$\beta = \sum_{i=1}^s k_i \alpha_i$
提示：系数 $k_i$ 不一定唯一，但存在性由正交补性质保证。
步骤 6/6
目标：总结证明
综上，由条件推出 $\beta$ 与解空间正交，从而属于行空间，故 $\beta$ 可由 $\alpha_i$ 线性表出。证毕。
提示：本题核心是利用正交补的概念，将解的条件转化为向量关系。
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