南昌大学 2025年高等代数第3题
📝 题目
3．（15 分）已知方程组（I）：$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}7 x_{1}-6 x_{2}+3 x_{3}=b \\ 8 x_{1}-9 x_{2}+a x_{4}=7\end{array}\right.$ ，方程组（II）的通解为 $\displaystyle (1,1,0,0)^{T}+t_{1}(1,0,-1,0)^{T}+t_{2}(2,3,0,1)^{T}$ ，若方程组 $\displaystyle (I)$ 与方程组 （II）有无穷多公共解，求 $\displaystyle a, b$ 的值与公共解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出方程组(II)的通解形式
方程组(II)的通解为 $\mathbf{x} = (1,1,0,0)^T + t_1(1,0,-1,0)^T + t_2(2,3,0,1)^T$，其中 $t_1, t_2 \in \mathbb{R}$。
提示：注意通解中自由参数的个数，这里有两个自由参数 $t_1, t_2$。
步骤 2/7
目标：将通解代入方程组(I)的第一个方程
代入 $x_1 = 1 + t_1 + 2t_2$, $x_2 = 1 + 3t_2$, $x_3 = -t_1$, $x_4 = t_2$ 到 $7x_1 - 6x_2 + 3x_3 = b$，得：
$$7(1+t_1+2t_2) - 6(1+3t_2) + 3(-t_1) = b$$
化简：
$$7 + 7t_1 + 14t_2 - 6 - 18t_2 - 3t_1 = b$$
$$1 + 4t_1 - 4t_2 = b \quad (1)$$
提示：注意合并同类项时符号不要出错，特别是 $3(-t_1)$ 项。
步骤 3/7
目标：将通解代入方程组(I)的第二个方程
代入到 $8x_1 - 9x_2 + a x_4 = 7$，得：
$$8(1+t_1+2t_2) - 9(1+3t_2) + a t_2 = 7$$
化简：
$$8 + 8t_1 + 16t_2 - 9 - 27t_2 + a t_2 = 7$$
$$-1 + 8t_1 + (a-11)t_2 = 7$$
$$8t_1 + (a-11)t_2 = 8 \quad (2)$$
提示：注意 $a t_2$ 项与 $t_2$ 的系数合并。
步骤 4/7
目标：将方程(1)和(2)整理为关于 $t_1, t_2$ 的线性方程组
将(1)改写为 $4t_1 - 4t_2 = b-1$，与(2) $8t_1 + (a-11)t_2 = 8$ 联立，得到关于 $t_1, t_2$ 的方程组：
$$\begin{cases} 4t_1 - 4t_2 = b-1 \\ 8t_1 + (a-11)t_2 = 8 \end{cases}$$
提示：注意常数项移到等号右边时要变号。
步骤 5/7
目标：利用无穷多解的条件确定 $a$ 和 $b$
方程组有无穷多解的条件是系数矩阵与增广矩阵秩相等且小于未知数个数2。系数矩阵行列式为零：
$$\det \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 8 & a-11 \end{pmatrix} = 4(a-11) + 32 = 4a - 12 = 0$$
解得 $a=3$。此时系数矩阵秩为1。增广矩阵为 $\begin{pmatrix} 4 & -4 & b-1 \\ 8 & -8 & 8 \end{pmatrix}$，第二行是第一行的2倍当且仅当 $8 = 2(b-1)$，即 $b=5$。
公式：线性方程组有无穷多解的条件：$\text{rank}(A) = \text{rank}(A|b) < n$
提示：注意行列式计算不要出错，且增广矩阵的秩相等条件要正确。
步骤 6/7
目标：求公共解
将 $a=3, b=5$ 代入方程(1)得 $4t_1 - 4t_2 = 4$，即 $t_1 - t_2 = 1$，所以 $t_1 = 1 + t_2$，$t_2$ 自由。公共解为：
$$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + (1+t_2)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t_2\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+3t_2 \\ 1+3t_2 \\ -1-t_2 \\ t_2 \end{pmatrix}$$
其中 $t_2 \in \mathbb{R}$。
提示：注意向量加法时对应分量相加，不要遗漏。
步骤 7/7
目标：总结答案
因此，$a=3$，$b=5$，公共解为 $\mathbf{x} = (2+3t, 1+3t, -1-t, t)^T$，$t \in \mathbb{R}$。
提示：最终答案要明确写出参数 $t$ 的取值范围。
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