南昌大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4、（15 分）已知 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶幂零矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B}+\mathbf{B} \mathbf{A}=\mathbf{B}$ ．求证： $\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{O}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用幂零性设定指数k
因为 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶幂零矩阵，所以存在正整数 $k$ 使得 $\mathbf{A}^k = \mathbf{O}$。
公式：$\mathbf{A}^k = \mathbf{O}$
提示：幂零矩阵的定义：存在正整数k使得矩阵的k次幂为零矩阵。
步骤 2/5
目标：改写条件等式
由条件 $\mathbf{A}\mathbf{B} + \mathbf{B}\mathbf{A} = \mathbf{B}$，移项得 $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B} - \mathbf{B}\mathbf{A} = \mathbf{B}(\mathbf{I} - \mathbf{A})$。
公式：$\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}(\mathbf{I} - \mathbf{A})$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但这里提取公因子时需注意顺序：$\mathbf{B} - \mathbf{B}\mathbf{A} = \mathbf{B}(\mathbf{I} - \mathbf{A})$ 是正确的，因为 $\mathbf{B}\mathbf{A}$ 是右乘。
步骤 3/5
目标：归纳证明一般关系式
用数学归纳法证明：对任意正整数 $m$，有 $\mathbf{A}^m \mathbf{B} = \mathbf{B} (\mathbf{I} - \mathbf{A})^m$。
当 $m=1$ 时，由步骤2知成立。
假设 $m$ 时成立，即 $\mathbf{A}^m \mathbf{B} = \mathbf{B} (\mathbf{I} - \mathbf{A})^m$，则
$\mathbf{A}^{m+1} \mathbf{B} = \mathbf{A} (\mathbf{A}^m \mathbf{B}) = \mathbf{A} \mathbf{B} (\mathbf{I} - \mathbf{A})^m = \mathbf{B} (\mathbf{I} - \mathbf{A}) (\mathbf{I} - \mathbf{A})^m = \mathbf{B} (\mathbf{I} - \mathbf{A})^{m+1}$。
由归纳法，结论对任意正整数 $m$ 成立。
公式：$\mathbf{A}^m \mathbf{B} = \mathbf{B} (\mathbf{I} - \mathbf{A})^m$
提示：归纳步骤中，将 $\mathbf{A}^{m+1}\mathbf{B}$ 视为 $\mathbf{A}(\mathbf{A}^m\mathbf{B})$，然后代入归纳假设，再使用 $m=1$ 时的关系式。注意矩阵乘法的结合律。
步骤 4/5
目标：代入幂零条件
取 $m=k$，则 $\mathbf{A}^k = \mathbf{O}$，代入一般关系式得 $\mathbf{O} = \mathbf{A}^k \mathbf{B} = \mathbf{B} (\mathbf{I} - \mathbf{A})^k$。
公式：$\mathbf{B} (\mathbf{I} - \mathbf{A})^k = \mathbf{O}$
提示：注意 $\mathbf{A}^k \mathbf{B} = \mathbf{O}$ 是因为 $\mathbf{A}^k = \mathbf{O}$，但这里得到的是 $\mathbf{B} (\mathbf{I} - \mathbf{A})^k = \mathbf{O}$。
步骤 5/5
目标：证明矩阵可逆并推出B为零矩阵
由于 $\mathbf{A}$ 是幂零矩阵，其特征值全为0，因此 $\mathbf{I} - \mathbf{A}$ 的特征值全为1，故 $\mathbf{I} - \mathbf{A}$ 可逆。从而 $\mathbf{B} = \mathbf{O}$。
公式：$\mathbf{I} - \mathbf{A}$ 可逆，$\mathbf{B} = \mathbf{O}$
提示：可逆性的证明：若 $\lambda$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值，则 $1-\lambda$ 是 $\mathbf{I}-\mathbf{A}$ 的特征值。由于 $\mathbf{A}$ 幂零，特征值全为0，所以 $\mathbf{I}-\mathbf{A}$ 的特征值全为1，不为0，故可逆。
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