南昌大学 2025年高等代数第5题
📝 题目
5、（15分）设 $\displaystyle \mathbf{a} \neq \mathbf{0}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}\mathbf{a} & \mathbf{a} & \mathbf{a} & \cdots & \mathbf{a} \\ \mathbf{0} & \mathbf{a} & \mathbf{a} & \cdots & \mathbf{a} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{a} & \cdots & \mathbf{a} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{a}\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定特征值
矩阵 $A$ 是上三角矩阵，所有对角元均为 $a$，且 $a \neq 0$。因此特征值为 $a$（$n$ 重）。
提示：注意上三角矩阵的特征值就是对角元。
步骤 2/6
目标：计算 $A - aI$
计算 $A - aI$：
$$A - aI = \begin{pmatrix}
0 & a & a & \cdots & a \\
0 & 0 & a & \cdots & a \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}$$
这是一个严格上三角矩阵。
提示：严格上三角矩阵是幂零矩阵。
步骤 3/6
目标：计算 $(A - aI)^k$ 的秩
计算 $(A - aI)^k$ 的秩。对于 $k=1$，秩为 $n-1$；对于 $k=2$，秩为 $n-2$；一般地，$(A - aI)^k$ 的秩为 $n-k$（当 $k \leq n-1$），且 $(A - aI)^{n-1}$ 的秩为1，$(A - aI)^n = 0$。
公式：\operatorname{rank}((A - aI)^k) = n - k, \quad 1 \leq k \leq n-1
提示：注意秩的下降规律，每个幂次秩减少1。
步骤 4/6
目标：确定幂零指数
由于 $(A - aI)^{n-1} \neq 0$ 但 $(A - aI)^n = 0$，所以幂零指数为 $n$。这意味着最大 Jordan 块大小为 $n$。
提示：幂零指数等于最大 Jordan 块的大小。
步骤 5/6
目标：确定 Jordan 块结构
由秩的下降：$\operatorname{rank}(A - aI) = n-1$，$\operatorname{rank}(A - aI)^2 = n-2$，...，$\operatorname{rank}(A - aI)^{n-1}=1$，可知只有一个 Jordan 块，大小为 $n$。
提示：秩的下降序列决定了 Jordan 块的个数和大小。
步骤 6/6
目标：写出 Jordan 标准型
因此，Jordan 标准型为：
$$J = \begin{pmatrix}
a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & a & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a
\end{pmatrix}$$
即一个 $n$ 阶 Jordan 块 $J_n(a)$。
提示：Jordan 块中，对角线为 $a$，次对角线为1，其余为0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。