南昌大学 2025年高等代数第6题
📝 题目
6．（15分）设 $V$ 是实数域上连续函数构成的实线性空间，证明：
$$
1, \cos x, \cos (2 x), \cdots, \cos (n x) .
$$
线性无关。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设线性相关并构造等式
假设存在一组不全为零的实数 $c_0, c_1, \ldots, c_n$，使得对任意 $x \in \mathbb{R}$ 有
$$c_0 + c_1 \cos x + c_2 \cos(2x) + \cdots + c_n \cos(nx) = 0.$$
定义函数 $f(x) = c_0 + c_1 \cos x + \cdots + c_n \cos(nx)$，则 $f(x) \equiv 0$。
提示：注意线性无关的定义：如果组合为零则所有系数必须为零。
步骤 2/5
目标：利用正交性方法——选择内积
在区间 $[-\pi, \pi]$ 上定义内积 $\langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) \, dx$。三角函数系 $\{1, \cos x, \cos(2x), \ldots, \cos(nx)\}$ 在该内积下正交：
- 当 $k \neq l$ 时，$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(kx) \cos(lx) \, dx = 0$；
- $\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(kx) \, dx = \pi$（$k \geq 1$）；
- $\int_{-\pi}^{\pi} 1^2 \, dx = 2\pi$。
公式：$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(kx) \cos(lx) \, dx = \begin{cases} 0, & k \neq l \\ \pi, & k=l \geq 1 \\ 2\pi, & k=l=0 \end{cases}$$
提示：注意 $k=0$ 时 $\cos(0x)=1$，其平方的积分是 $2\pi$ 而非 $\pi$。
步骤 3/5
目标：乘以 $\cos(kx)$ 并积分（$k \geq 1$）
将假设等式 $f(x)=0$ 两边乘以 $\cos(kx)$（$k \geq 1$）并在 $[-\pi, \pi]$ 上积分：
$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(kx) \, dx = 0.$$
展开左边，利用正交性，只有 $c_k \cos(kx)$ 项贡献非零：
$$c_k \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(kx) \, dx = c_k \pi = 0,$$
因此 $c_k = 0$。
公式：$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(kx) \cos(lx) \, dx = \delta_{kl} \pi \quad (k,l \geq 1)$$
提示：注意 $\cos(kx)$ 与 $1$ 的内积也为零，因为 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(kx) \, dx = 0$。
步骤 4/5
目标：乘以 $1$ 并积分求 $c_0$
将假设等式两边乘以 $1$ 并在 $[-\pi, \pi]$ 上积分：
$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = 0.$$
展开左边，利用正交性，只有 $c_0$ 项贡献非零：
$$c_0 \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx = c_0 \cdot 2\pi = 0,$$
因此 $c_0 = 0$。
公式：$$\int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx = 2\pi$$
提示：注意 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(kx) \, dx = 0$（$k \geq 1$），所以只有常数项贡献。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $c_0 = c_1 = \cdots = c_n = 0$，故 $1, \cos x, \cos(2x), \ldots, \cos(nx)$ 线性无关。
提示：线性无关的定义：任何线性组合为零则系数全为零。
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