南昌大学 2025年高等代数第9题

令 $N = J - \lambda_0 I$，则 $N$ 是幂零若尔当块，满足 $N^n = 0$ 且 $N^{n-1} \neq 0$。由于 $J = \lambda_0 I + N$，且 $I$ 与任何矩阵可交换，因此 $AJ = JA$ 当且仅当 $AN = NA$。所以只需证明：若 $A$ 与 $N$ 可交换，则 $A$ 可表示为 $N$ 的多项式（次数不超过 $n-1$），从而也是 $J$ 的多项式。

考虑向量 $e_1 = (1,0,\dots,0)^T$，则 $\{e_1, Ne_1, N^2 e_1, \dots, N^{n-1} e_1\}$ 构成 $\mathbb{C}^n$ 的一组基。事实上，$N^k e_1 = e_{k+1}$（第 $k+1$ 个标准基向量）。这是因为 $N$ 是若尔当块，其作用为 $N e_k = e_{k-1}$（当 $k>1$）且 $N e_1 = 0$，但这里 $N$ 是下三角形式？注意：通常若尔当块定义为上三角，但此处 $N$ 是 $J-\lambda_0 I$，其形式为 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix}$，所以 $N e_1 = 0$，$N e_2 = e_1$，等等。因此 $N^k e_1 = 0$ 对 $k\ge 1$？这似乎矛盾。实际上，标准若尔当块通常取为下三角形式，但这里我们采用上三角形式，那么 $e_1$ 不是循环向量。正确的做法是取 $e_n = (0,\dots,0,1)^T$ 作为循环向量。为避免混淆，我们重新定义：设 $J$ 为下三角若尔当块，即 $J = \begin{pmatrix} \lambda_0 & & & \\ 1 & \lambda_0 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \lambda_0 \end{pmatrix}$，则 $N = J - \lambda_0 I$ 为下三角幂零块，$N e_1 = 0$，$N e_2 = e_1$，...，$N e_n = e_{n-1}$。此时取 $e_1$ 为循环向量，则 $\{e_1, N e_1, \dots, N^{n-1} e_1\}$ 线性相关（因为 $N e_1=0$）。实际上，循环向量应为 $e_n$，因为 $N^{k} e_n = e_{n-k}$。为简化，我们假设 $J$ 是上三角形式，取 $e_1$ 为循环向量，则 $N^k e_1 = e_{k+1}$ 对 $k=0,\dots,n-1$ 成立，其中 $e_{n+1}=0$。但 $N$ 是上三角幂零块，$N e_k = e_{k+1}$？不对，上三角若尔当块中 $J$ 的主对角线上方有1，所以 $N$ 也是上三角，$N e_k = e_{k+1}$（当 $k

公式：N^k e_1 = e_{k+1}

提示：注意若尔当块的形式，确保循环向量选取正确。