厦门大学 2021年高等代数第2题
📝 题目
2．已知 $A$ 为 3 阶实矩阵，其每行元素之和为 6 ，且 $\displaystyle \alpha_{1}=(,,)^{\prime}, \alpha_{2}=(,,)^{\prime}$ 为方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解。
（1）求 $A$ 的特征值与特征向量；
（2）求 $A$ 与 $\displaystyle (A-3 E)^{4}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用每行元素之和为6求特征值
设 $A$ 为3阶实矩阵，每行元素之和为6，即 $A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=6\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$，所以 $\lambda_1=6$ 是特征值，对应的特征向量为 $k(1,1,1)^T$（$k\neq0$）。
公式：A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=6\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
提示：注意每行元素之和为6意味着矩阵乘以全1向量等于6倍全1向量。
步骤 2/7
目标：利用解方程组求特征值
已知 $\alpha_1,\alpha_2$ 为方程组 $AX=0$ 的解，即 $A\alpha_i=0$，所以 $\lambda_2=0$ 是特征值，且 $\alpha_1,\alpha_2$ 是特征向量。由于 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关（题目隐含），故0至少是二重特征值。
公式：A\alpha_i=0
提示：注意 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关是解题关键，否则0可能是一重。
步骤 3/7
目标：确定所有特征值
矩阵 $A$ 是3阶矩阵，已有一个特征值6，另一个特征值0至少二重，因此特征值为 $\lambda_1=6$，$\lambda_2=\lambda_3=0$。
提示：特征值个数等于矩阵阶数，且重数之和为3。
步骤 4/7
目标：写出特征向量
对应特征值6的特征向量为 $k(1,1,1)^T$（$k\neq0$）；对应特征值0的特征向量为 $\alpha_1,\alpha_2$ 的任意线性组合（非零）。
提示：特征向量不能为零向量。
步骤 5/7
目标：求A-3E的特征值
由 $A$ 的特征值为 $6,0,0$，则 $A-3E$ 的特征值为 $6-3=3$，$0-3=-3$，$0-3=-3$。
公式：\lambda_{A-3E} = \lambda_A - 3
提示：注意特征值平移公式：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda-3$ 是 $A-3E$ 的特征值。
步骤 6/7
目标：求(A-3E)^4的特征值
$(A-3E)^4$ 的特征值为 $3^4=81$，$(-3)^4=81$，$(-3)^4=81$，即三个特征值均为81。
公式：\lambda_{(A-3E)^4} = (\lambda_{A-3E})^4
提示：注意幂运算时特征值取幂，且负数的偶次幂为正。
步骤 7/7
目标：判断(A-3E)^4是否为数量矩阵
由于 $(A-3E)^4$ 是3阶矩阵，且三个特征值均为81，但仅凭特征值相同不能直接得出它是数量矩阵。然而，题目中 $A$ 是实矩阵，且特征值6对应特征向量 $(1,1,1)^T$，0对应两个线性无关特征向量，故 $A$ 可对角化，从而 $A-3E$ 可对角化，进而 $(A-3E)^4$ 可对角化且特征值全为81，因此 $(A-3E)^4 = 81E$。
提示：需要确认矩阵可对角化，否则特征值相同不一定推出是数量矩阵。
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