厦门大学 2021年高等代数第3题
📝 题目
3．已知 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为 $n$ 维实列向量，且当 $\displaystyle i \neq j$ 时，有 $\displaystyle X_{i}^{\prime} A X_{j}=0$ ，证明： $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设线性组合为零
设存在一组实数 $k_1, k_2, \dots, k_n$，使得 $k_1 X_1 + k_2 X_2 + \cdots + k_n X_n = 0$。
提示：这是证明线性无关的标准起点，假设存在线性关系。
步骤 2/6
目标：左乘 $X_i^T A$
对任意 $i = 1, 2, \dots, n$，用 $X_i^T A$ 左乘上式两边，得 $X_i^T A (k_1 X_1 + k_2 X_2 + \cdots + k_n X_n) = 0$。
提示：注意左乘的顺序，$X_i^T A$ 是行向量，乘列向量得到标量。
步骤 3/6
目标：利用正交条件化简
由于 $A$ 是实对称矩阵（正定矩阵必为实对称），且当 $i \neq j$ 时 $X_i^T A X_j = 0$，上式化为 $k_i X_i^T A X_i = 0$。
公式：当 $i \neq j$ 时，$X_i^T A X_j = 0$
提示：注意 $A$ 的对称性保证 $X_i^T A X_j$ 是标量，且条件仅对 $i \neq j$ 成立。
步骤 4/6
目标：讨论 $X_i$ 是否为零向量
若存在某个 $X_i = 0$，则向量组线性相关，与结论矛盾。因此，所有 $X_i \neq 0$。
提示：题目条件未明确排除零向量，但若存在零向量则结论不成立，故需说明。
步骤 5/6
目标：利用正定性推出系数为零
因为 $A$ 正定，对非零向量 $X_i$ 有 $X_i^T A X_i > 0$。由 $k_i X_i^T A X_i = 0$ 得 $k_i = 0$ 对每个 $i$ 成立。
公式：正定矩阵定义：对任意非零向量 $x$，有 $x^T A x > 0$
提示：注意 $X_i^T A X_i$ 是正数，所以系数必须为零。
步骤 6/6
目标：结论
因此，$X_1, X_2, \dots, X_n$ 线性无关。
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