厦门大学 2021年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $P$ 为数域，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1, A$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，证明：$\displaystyle f(A) g(A)=O$的充要条件是 $\displaystyle r(f(A))+r(g(A))=n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入线性空间和线性变换
设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换（对应于 $n$ 阶方阵）。令 $U = \operatorname{Im} f(A)$，$W = \operatorname{Im} g(A)$。
提示：注意将矩阵视为线性变换，利用空间维数关系。
步骤 2/6
目标：证明互素条件导出的恒等式
由于 $(f(x), g(x))=1$，存在 $u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=1$。代入 $A$ 得 $u(A)f(A)+v(A)g(A)=I$。
公式：$u(A)f(A)+v(A)g(A)=I$
提示：注意多项式互素时存在 Bezout 等式。
步骤 3/6
目标：证明核与像的直和分解
由恒等式，对任意 $\alpha \in \ker f(A) \cap \operatorname{Im} f(A)$，存在 $\beta$ 使 $\alpha = f(A)\beta$，且 $f(A)\alpha=0$。则 $\alpha = u(A)f(A)\alpha + v(A)g(A)\alpha = 0$，故 $\ker f(A) \cap \operatorname{Im} f(A) = \{0\}$。又 $V = \ker f(A) + \operatorname{Im} f(A)$（由恒等式可得），所以 $V = \ker f(A) \oplus \operatorname{Im} f(A)$。
公式：$V = \ker f(A) \oplus \operatorname{Im} f(A)$
提示：注意直和条件：交为0且和为全空间。
步骤 4/6
目标：必要性：由 $f(A)g(A)=O$ 推出维数关系
若 $f(A)g(A)=O$，则 $g(A)V \subseteq \ker f(A)$，即 $W \subseteq \ker f(A)$。由直和分解，$\dim V = \dim \ker f(A) + \dim \operatorname{Im} f(A)$。又由恒等式，$V = U + W$，故 $\dim V \leq \dim U + \dim W$。结合 $\dim W \leq \dim \ker f(A)$，得 $\dim V = \dim U + \dim W$，即 $r(f(A)) + r(g(A)) = n$。
公式：$r(f(A)) + r(g(A)) = n$
提示：注意秩等于像空间维数。
步骤 5/6
目标：充分性：由维数关系推出 $f(A)g(A)=O$
若 $r(f(A)) + r(g(A)) = n$，即 $\dim U + \dim W = n$。由恒等式知 $V = U + W$，故 $\dim V = \dim (U+W) \leq \dim U + \dim W = n$，等号成立当且仅当 $U \cap W = \{0\}$。因此 $U \cap W = \{0\}$。对任意 $\alpha \in V$，$f(A)g(A)\alpha = f(A)(g(A)\alpha) \in f(A)W$。而 $f(A)W \subseteq U \cap W = \{0\}$，故 $f(A)g(A)\alpha = 0$，即 $f(A)g(A)=O$。
提示：注意 $f(A)W \subseteq U \cap W$ 的推导。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
综上，$f(A)g(A)=O$ 当且仅当 $r(f(A)) + r(g(A)) = n$。
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