厦门大学 2021年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 的秩均为 1 ，且 $A$ 与 $B$ 的迹相同，证明：$A$ 相似于 $B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将秩1矩阵表示为列向量与行向量的乘积
由于 $\operatorname{rank}(A)=1$，存在非零列向量 $\alpha_1,\beta_1\in\mathbb{C}^n$ 使得 $A=\alpha_1\beta_1^T$。同理，存在非零列向量 $\alpha_2,\beta_2\in\mathbb{C}^n$ 使得 $B=\alpha_2\beta_2^T$。
公式：A = \alpha_1\beta_1^T, \quad B = \alpha_2\beta_2^T
提示：注意向量是列向量，$\beta^T$ 是行向量。
步骤 2/6
目标：计算迹并利用条件
计算 $A$ 和 $B$ 的迹：$\operatorname{tr}(A)=\beta_1^T\alpha_1$，$\operatorname{tr}(B)=\beta_2^T\alpha_2$。由已知 $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)$，得 $\beta_1^T\alpha_1=\beta_2^T\alpha_2$。记 $t=\beta_1^T\alpha_1=\beta_2^T\alpha_2$。
公式：\operatorname{tr}(A)=\beta_1^T\alpha_1,\quad \operatorname{tr}(B)=\beta_2^T\alpha_2,\quad \beta_1^T\alpha_1=\beta_2^T\alpha_2
提示：迹等于内积 $\beta^T\alpha$，注意顺序。
步骤 3/6
目标：确定特征值
由于 $\operatorname{rank}(A)=1$，$A$ 的特征多项式为 $\lambda^{n-1}(\lambda-\operatorname{tr}(A))$，因此 $A$ 的特征值为 $0$（$n-1$ 重）和 $\operatorname{tr}(A)$（1重）。同理，$B$ 的特征值为 $0$（$n-1$ 重）和 $\operatorname{tr}(B)$（1重）。由 $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)$，故 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值（包括代数重数）。
公式：p_A(\lambda)=\lambda^{n-1}(\lambda-\operatorname{tr}(A))
提示：秩1矩阵的非零特征值最多一个，且等于迹。
步骤 4/6
目标：分情况讨论：迹为零的情形
若 $t=0$，则 $\beta_1^T\alpha_1=0$，从而 $A^2=\alpha_1(\beta_1^T\alpha_1)\beta_1^T=0$，故 $A$ 是幂零矩阵。由于 $\operatorname{rank}(A)=1$，$A$ 的Jordan标准形由一个2阶Jordan块和 $n-2$ 个1阶零块组成，即 $J_2(0)\oplus 0_{n-2}$。同理，$B$ 的Jordan标准形相同。因此 $A$ 与 $B$ 相似。
公式：A^2=0,\quad J_A=J_2(0)\oplus 0_{n-2}
提示：注意 $A^2=0$ 是因为 $\beta_1^T\alpha_1=0$，且秩为1的幂零矩阵的Jordan标准形唯一。
步骤 5/6
目标：分情况讨论：迹非零的情形
若 $t\neq 0$，则 $A^2=\alpha_1(\beta_1^T\alpha_1)\beta_1^T=tA$，即 $A(A-tI)=0$。因此 $A$ 的最小多项式为 $\lambda(\lambda-t)$，无重根，故 $A$ 可对角化。其Jordan标准形为 $\operatorname{diag}(t,0,\dots,0)$。同理，$B$ 的Jordan标准形相同。因此 $A$ 与 $B$ 相似。
公式：A^2=tA,\quad m_A(\lambda)=\lambda(\lambda-t),\quad J_A=\operatorname{diag}(t,0,\dots,0)
提示：最小多项式无重根是对角化的充要条件。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合两种情况，无论 $t=0$ 还是 $t\neq 0$，$A$ 与 $B$ 都有相同的Jordan标准形，因此 $A$ 相似于 $B$。
提示：注意迹相等是保证特征值相同的关键条件。
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