厦门大学 2021年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle W_{1}, W_{2}, W_{3}$ 均为有限维线性空间 $V$ 的子空间，且
$$
W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{3}, W_{1} \cap W_{2}=W_{2} \cap W_{3}, W_{1} \subseteq W_{2} .
$$
证明 $\displaystyle W_{1}=W_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确证明方向
已知 $W_1 \subseteq W_2$，要证 $W_1 = W_2$，只需证明 $W_2 \subseteq W_1$。
提示：注意包含关系是双向的，不要只证一边。
步骤 2/7
目标：任取 $W_2$ 中元素
任取 $x \in W_2$，利用条件 $W_1 + W_2 = W_2 + W_3$，存在 $y \in W_1$，$z \in W_3$ 使得 $x = y + z$。
公式：$W_1 + W_2 = W_2 + W_3$
提示：注意和空间的定义：任意元素可表示为两个子空间元素之和。
步骤 3/7
目标：推导 $z \in W_2$
由 $x \in W_2$ 和 $y \in W_1 \subseteq W_2$，得 $z = x - y \in W_2$（因为 $W_2$ 是子空间，对减法封闭）。
提示：子空间对加法和数乘封闭，从而对减法也封闭。
步骤 4/7
目标：得到 $z \in W_2 \cap W_3$
由 $z \in W_2$ 和 $z \in W_3$，得 $z \in W_2 \cap W_3$。
提示：交空间的定义：同时属于两个子空间。
步骤 5/7
目标：利用交空间相等条件
已知 $W_1 \cap W_2 = W_2 \cap W_3$，故 $z \in W_1 \cap W_2$，从而 $z \in W_1$。
公式：$W_1 \cap W_2 = W_2 \cap W_3$
提示：注意交空间相等意味着元素属于其中一个交即属于另一个。
步骤 6/7
目标：证明 $x \in W_1$
由 $x = y + z$，且 $y \in W_1$，$z \in W_1$，得 $x \in W_1$（子空间对加法封闭）。
提示：子空间对加法封闭，所以和仍在子空间中。
步骤 7/7
目标：得出结论
由 $x$ 的任意性，$W_2 \subseteq W_1$，结合 $W_1 \subseteq W_2$，得 $W_1 = W_2$。
提示：证明完成，注意逻辑完整性。
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