厦门大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A, B, C$ 都是三阶矩阵，且行列式均为 3 ，则 $\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}O & -3 A \\ B^{-1} & C\end{array}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别分块矩阵结构
给定矩阵 $\begin{pmatrix} O & -3A \\ B^{-1} & C \end{pmatrix}$ 是一个 $6\times 6$ 的分块矩阵，其中每个子块都是 $3\times 3$ 矩阵。左上块 $O$ 是零矩阵，右上块是 $-3A$，左下块是 $B^{-1}$，右下块是 $C$。
提示：注意分块矩阵的维度：所有子块均为三阶，因此整个矩阵是 $6\times 6$。
步骤 2/5
目标：应用分块矩阵行列式公式
对于形如 $\begin{pmatrix} O & X \\ Y & Z \end{pmatrix}$ 的分块矩阵，其中 $X$ 是 $m\times n$，$Y$ 是 $n\times m$，有公式 $\det\begin{pmatrix} O & X \\ Y & Z \end{pmatrix} = (-1)^{mn} \det(X) \det(Y)$。这里 $m=n=3$，所以 $(-1)^{3\times 3}=(-1)^9=-1$。因此原行列式等于 $(-1) \cdot \det(-3A) \cdot \det(B^{-1})$。
公式：$\det\begin{pmatrix} O & X \\ Y & Z \end{pmatrix} = (-1)^{mn} \det(X) \det(Y)$
提示：公式成立的条件是左上块为零矩阵，且 $X$ 和 $Y$ 的尺寸匹配。注意符号 $(-1)^{mn}$ 容易漏掉或算错指数。
步骤 3/5
目标：计算 $\det(-3A)$
矩阵 $-3A$ 是 $A$ 的每个元素乘以 $-3$，因此 $\det(-3A) = (-3)^3 \det(A) = -27 \cdot \det(A)$。已知 $\det(A)=3$，所以 $\det(-3A) = -27 \times 3 = -81$。
公式：$\det(kA) = k^n \det(A)$，其中 $n$ 是矩阵阶数
提示：注意 $k$ 是标量，$n$ 是矩阵阶数，这里 $n=3$，$k=-3$，所以 $(-3)^3=-27$，不要忘记负号。
步骤 4/5
目标：计算 $\det(B^{-1})$
由于 $B$ 可逆，$\det(B^{-1}) = \frac{1}{\det(B)}$。已知 $\det(B)=3$，所以 $\det(B^{-1}) = \frac{1}{3}$。
公式：$\det(B^{-1}) = \frac{1}{\det(B)}$
提示：前提是 $B$ 可逆，题目中行列式为3，故可逆。注意不要混淆 $B^{-1}$ 与 $B$ 的行列式。
步骤 5/5
目标：代入计算最终结果
将上述结果代入：原行列式 $= (-1) \times (-81) \times \frac{1}{3} = 81 \times \frac{1}{3} = 27$。
提示：注意符号：$(-1) \times (-81) = 81$，再乘以 $1/3$ 得 $27$。
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