📝 厦门大学 2022年高等代数真题
第0题
1．设 $A, B, C$ 都是三阶矩阵，且行列式均为 3 ，则 $\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}O & -3 A \\ B^{-1} & C\end{array}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
2．设 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 不可逆，且 $A_{11} \neq 0$ ，则 $\_\_\_\_$是 $A$ 的伴随矩阵的行向量组的一个极大线性无关组。
第0题
3．设 $V_{1}, V_{2}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间， $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=\operatorname{dim} V_{1}+1$ ，则 $\operatorname{dim} V_{2}-\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
4．$n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\varphi, w$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩陈分别为 $A, B$ ，X知 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$到 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 的过渡矩阵为 $P$ ，则 $\varphi \psi+2 \varphi^{3}-\mathrm{id}_{V}$ 在 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
5．设 $f(x)=x^{5}-2020 x^{4}-2019 x^{3}-4041 x^{2}-2020 x-100$ ，则 $f(2021)=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
6．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & a \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 只有一个线性无关的特征向量，则 $A$ 的特征值为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
7．设 $A$ 的不变因子组为 $1,1,1,1, \lambda, \lambda^{2}(\lambda+1)^{3}$ ，则 $A$ 的 ．Jordan 标准形，特征多项式和极小多项式分别为 $\_\_\_\_$。
第0题
8．设
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 a x_{2} x_{3}
$$
经正交替换 $X=P Y$ 后化为 $f=2 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ，则 $a, b$ 的值分别为 $\_\_\_\_$ ．
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 a x_{2} x_{3}
$$
经正交替换 $X=P Y$ 后化为 $f=2 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ，则 $a, b$ 的值分别为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
七．设 $\displaystyle U, V$ 为数域 $F$ 上的有限维线性空间，$\displaystyle \varphi: V \rightarrow U, \psi: U \rightarrow V$ ，且 $\displaystyle \psi \varphi=\operatorname{id}_{V}$ ，证明：$\displaystyle U=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \psi$ ．
第0题
三．设 $n$ 维实列向量 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{T}(i=1,2, \cdots, r ; r \leq n)$ ，且 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，$\displaystyle \beta$ 为齐次线性方程组
$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)
$$
的非零解，证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta$ 线性无关．
$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)
$$
的非零解，证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta$ 线性无关．
第0题
二．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right), X=(1, b, 1)^{T}$ 是 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，求 $a$ ．$\displaystyle b, \lambda$ 的值，并讨论 $A$ 是否可以相似对角化．
第0题
五．设 $\displaystyle f(x)=x^{4}+6 x^{3}+4 x+2 \in \mathbb{Q}[x], c$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个复根．记
$$
\mathbb{Q}[c]=\left\{a_{0}+a_{1} c+a_{2} c^{2}+a_{3} c^{3} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{Q}\right\}
$$
证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上不可约；
（2）对任．意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，有 $\displaystyle g(c) \in \mathbb{Q}[c]$ ；
（3）对任意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，若 $\displaystyle f(x) \nmid g(x)$ ，则仔在 $\displaystyle h(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，使得 $\displaystyle g(c) h(c)=1$ ．
∴。设 $Q$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$x$ 为 $n$ 维实列向量，证明： $\displaystyle 0 \leq x^{T}\left(Q+x x^{T}\right)^{-1} x<1$ ．
$$
\mathbb{Q}[c]=\left\{a_{0}+a_{1} c+a_{2} c^{2}+a_{3} c^{3} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{Q}\right\}
$$
证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上不可约；
（2）对任．意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，有 $\displaystyle g(c) \in \mathbb{Q}[c]$ ；
（3）对任意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，若 $\displaystyle f(x) \nmid g(x)$ ，则仔在 $\displaystyle h(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，使得 $\displaystyle g(c) h(c)=1$ ．
∴。设 $Q$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$x$ 为 $n$ 维实列向量，证明： $\displaystyle 0 \leq x^{T}\left(Q+x x^{T}\right)^{-1} x<1$ ．
第0题
八．设 $\displaystyle \varphi$ 为数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，设 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in V$ ，记
$$
F[\varphi] \alpha=\{f(\varphi) \alpha \mid f(\lambda) \in F[\lambda]\}
$$
设 $\displaystyle \varphi$ 限制在 $\displaystyle F[\varphi] \alpha$ 上的线性变换为 $\displaystyle \varphi_{1}$ ，若 $\displaystyle \varphi_{1}$ 的极小多项式 $\displaystyle m_{\varphi_{1}}(\lambda)$ 的标准分解式为
$$
m_{\varphi_{1}}(\lambda)=p_{1}^{e_{1}}(\lambda) p_{2}^{e_{2}}(\lambda) \cdots p_{t}^{e_{t}}(\lambda)
$$
其中 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 两两互素，且对每个 $\displaystyle 1 \leq i \leq t$ ，都有 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 首一且不可约，$\displaystyle e_{i} \geq 1$ ，则存在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ ，使得
（1）$\displaystyle F[\varphi] \alpha_{i}=\operatorname{Ker} p_{i}^{e_{i}}\left(\varphi_{1}\right)$ ；
（2）$\displaystyle F[\varphi] \alpha=F[\varphi] \alpha_{1} \oplus F[\varphi] \alpha_{2} \oplus \cdots \oplus F[\varphi] \alpha_{t}$ ．
$$
F[\varphi] \alpha=\{f(\varphi) \alpha \mid f(\lambda) \in F[\lambda]\}
$$
设 $\displaystyle \varphi$ 限制在 $\displaystyle F[\varphi] \alpha$ 上的线性变换为 $\displaystyle \varphi_{1}$ ，若 $\displaystyle \varphi_{1}$ 的极小多项式 $\displaystyle m_{\varphi_{1}}(\lambda)$ 的标准分解式为
$$
m_{\varphi_{1}}(\lambda)=p_{1}^{e_{1}}(\lambda) p_{2}^{e_{2}}(\lambda) \cdots p_{t}^{e_{t}}(\lambda)
$$
其中 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 两两互素，且对每个 $\displaystyle 1 \leq i \leq t$ ，都有 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 首一且不可约，$\displaystyle e_{i} \geq 1$ ，则存在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ ，使得
（1）$\displaystyle F[\varphi] \alpha_{i}=\operatorname{Ker} p_{i}^{e_{i}}\left(\varphi_{1}\right)$ ；
（2）$\displaystyle F[\varphi] \alpha=F[\varphi] \alpha_{1} \oplus F[\varphi] \alpha_{2} \oplus \cdots \oplus F[\varphi] \alpha_{t}$ ．
第0题
四．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(E-A)=n$ 的充分必要条件是 $\displaystyle A^{2}=A$ ．