厦门大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & a \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 只有一个线性无关的特征向量，则 $A$ 的特征值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算特征多项式
矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 1 & -a \\ -1 & \lambda-3 & -5 \\ 0 & 0 & \lambda-2 \end{pmatrix}$。按第三行展开：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-2) \det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 1 \\ -1 & \lambda-3 \end{pmatrix} = (\lambda-2)[(\lambda-1)(\lambda-3)+1] = (\lambda-2)(\lambda^2-4\lambda+4) = (\lambda-2)^3$。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-2)^3$
提示：展开行列式时注意符号，按第三行展开时，第三行只有第三个元素非零，且符号为$(-1)^{3+3}=1$。
步骤 2/6
目标：确定特征值
由特征多项式 $\det(\lambda I - A) = (\lambda-2)^3$ 可知，特征值为 $\lambda = 2$，代数重数为3。
提示：特征多项式是三次的，且只有$\lambda=2$一个根，所以特征值就是2（三重根）。
步骤 3/6
目标：理解几何重数的条件
矩阵$A$只有一个线性无关的特征向量，说明特征值$\lambda=2$的几何重数为1（即特征空间维数为1）。几何重数等于$n - \text{rank}(\lambda I - A)$，这里$n=3$，所以$\text{rank}(2I - A) = 2$。
公式：几何重数 $= n - \text{rank}(\lambda I - A)$
提示：几何重数不超过代数重数，这里代数重数为3，几何重数为1，说明矩阵是亏损的。
步骤 4/6
目标：计算矩阵 $2I - A$
$2I - A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a \\ -1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。对矩阵进行初等行变换：将第二行加上第一行，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -a \\ 0 & 0 & -5-a \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意$2I-A$的计算：$2I$是对角线为2的单位矩阵，减去$A$的每个元素。
步骤 5/6
目标：确定秩的条件
要使$\text{rank}(2I - A) = 2$，则第二行第二列的元素必须非零，即 $-5-a \neq 0$，所以 $a \neq -5$。当 $a = -5$ 时，秩为1，几何重数为2，会有两个线性无关的特征向量，不符合题意。
提示：注意：题目只要求特征值，不需要求$a$的具体值，但需要确认特征值是否与$a$有关。这里特征值已经确定为2，与$a$无关。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，矩阵$A$的特征值为$\lambda = 2$（三重根）。
提示：特征值由特征多项式唯一确定，与参数$a$无关（只要$a$使得几何重数为1，但特征值不变）。
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