厦门大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
二．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right), X=(1, b, 1)^{T}$ 是 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，求 $a$ ．$\displaystyle b, \lambda$ 的值，并讨论 $A$ 是否可以相似对角化．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用特征向量条件建立方程
由题意，$X$ 是 $A^*$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，即 $A^* X = \lambda X$。利用关系 $A^* = \det A \cdot A^{-1}$，得 $\det A \cdot A^{-1} X = \lambda X$，即 $A^{-1} X = \frac{\lambda}{\det A} X$。因此 $X$ 也是 $A^{-1}$ 的特征向量，从而也是 $A$ 的特征向量。设 $A X = \mu X$，则 $\mu = \frac{\det A}{\lambda}$。
公式：$A^* = \det A \cdot A^{-1}$
提示：注意伴随矩阵与逆矩阵的关系，特征向量在可逆变换下保持对应特征值关系。
步骤 2/6
目标：计算行列式并代入特征方程
计算 $\det A = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = 2(2a-1) -1(a-1) +1(1-2) = 4a-2 -a+1 -1 = 3a-2$。由 $A X = \mu X$ 得：$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} = \mu \begin{pmatrix} 1 \\ b \\ 1 \end{pmatrix}$，展开得方程组：$\begin{cases} 2 + b + 1 = \mu \\ 1 + 2b + 1 = \mu b \\ 1 + b + a = \mu \end{cases}$。
提示：矩阵乘法要仔细，注意向量分量对应。
步骤 3/6
目标：求解参数 a
由方程组第一和第三式：$b+3 = \mu$ 和 $a+b+1 = \mu$，联立得 $b+3 = a+b+1$，解得 $a=2$。
提示：消去 $\mu$ 时注意等式两边相等。
步骤 4/6
目标：求解参数 b 和 μ
将 $a=2$ 代入，由第一式 $\mu = b+3$，代入第二式 $2b+2 = b(b+3)$，整理得 $b^2+b-2=0$，解得 $b=1$ 或 $b=-2$。对应地，$\mu = 4$ 或 $\mu = 1$。
提示：解二次方程时注意符号，不要漏解。
步骤 5/6
目标：求解参数 λ
由 $\det A = 3a-2 = 4$，及 $\lambda = \frac{\det A}{\mu}$，得：当 $b=1, \mu=4$ 时，$\lambda = 1$；当 $b=-2, \mu=1$ 时，$\lambda = 4$。
公式：$\lambda = \frac{\det A}{\mu}$
提示：注意 $\mu$ 与 $\lambda$ 的对应关系，不要代反。
步骤 6/6
目标：判断 A 是否可相似对角化
当 $a=2$ 时，$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。计算特征多项式：$\det(A-\mu I) = \begin{vmatrix} 2-\mu & 1 & 1 \\ 1 & 2-\mu & 1 \\ 1 & 1 & 2-\mu \end{vmatrix} = (1-\mu)^2(4-\mu)$。特征值 $\mu_1=4$（单根），$\mu_2=1$（二重根）。对于 $\mu=1$，解 $(A-I)X=0$，系数矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ 秩为1，基础解系含2个线性无关向量，几何重数等于代数重数，故 $A$ 可相似对角化。
公式：$\det(A-\mu I) = (1-\mu)^2(4-\mu)$
提示：判断可对角化需检查每个特征值的几何重数是否等于代数重数。
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