厦门大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
7．设 $A$ 的不变因子组为 $1,1,1,1, \lambda, \lambda^{2}(\lambda+1)^{3}$ ，则 $A$ 的 ．Jordan 标准形，特征多项式和极小多项式分别为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定非平凡不变因子
不变因子组为 $1,1,1,1, \lambda, \lambda^{2}(\lambda+1)^{3}$。其中前四个为1，是平凡因子，后两个非常数：$\lambda$ 和 $\lambda^{2}(\lambda+1)^{3}$。
提示：注意不变因子中1的个数不影响初等因子，只需关注非常数因子。
步骤 2/6
目标：分解不变因子为初等因子
将每个非常数不变因子分解为不可约因式的幂：
- $\lambda$ 已是不可约因式的一次幂，即 $\lambda^1$。
- $\lambda^{2}(\lambda+1)^{3}$ 分解为 $\lambda^2$ 和 $(\lambda+1)^3$。
因此初等因子为：$\lambda,\ \lambda^2,\ (\lambda+1)^3$。
公式：不变因子分解为不可约因式的幂即得初等因子。
提示：注意每个初等因子对应一个Jordan块，且幂次即为Jordan块的阶数。
步骤 3/6
目标：由初等因子构造Jordan块
每个初等因子对应一个Jordan块：
- $\lambda$ 对应 $1\times1$ 的Jordan块 $J_1(0)$，即 $[0]$。
- $\lambda^2$ 对应 $2\times2$ 的Jordan块 $J_2(0)$，即 $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$。
- $(\lambda+1)^3$ 对应 $3\times3$ 的Jordan块 $J_3(-1)$，即 $\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$。
公式：初等因子 $(\lambda - \lambda_0)^k$ 对应 $k\times k$ Jordan块，对角元为 $\lambda_0$，次对角线为1。
提示：注意Jordan块的对角线元素是特征值，次对角线为1，其余为0。
步骤 4/6
目标：组合Jordan块得到Jordan标准形
将三个Jordan块按顺序排列成块对角矩阵，得到Jordan标准形：
$$J = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}$$
公式：Jordan标准形是Jordan块的直和。
提示：注意矩阵的维数：1+2+3=6，与不变因子个数一致。
步骤 5/6
目标：求特征多项式
特征多项式是所有初等因子的乘积：
$$f(\lambda) = \lambda \cdot \lambda^2 \cdot (\lambda+1)^3 = \lambda^3 (\lambda+1)^3$$
公式：特征多项式等于所有初等因子的乘积。
提示：注意特征多项式是 $\lambda$ 的多项式，最高次项系数为1，次数等于矩阵阶数。
步骤 6/6
目标：求极小多项式
极小多项式是所有初等因子中最高次幂的乘积：
- 对于特征值0，最高次幂为 $\lambda^2$（来自 $\lambda^2$）。
- 对于特征值-1，最高次幂为 $(\lambda+1)^3$。
因此极小多项式为：
$$m(\lambda) = \lambda^2 (\lambda+1)^3$$
公式：极小多项式是每个特征值对应的最大Jordan块阶数的因式乘积。
提示：注意极小多项式整除特征多项式，且包含所有不同特征值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。