厦门大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
五．设 $\displaystyle f(x)=x^{4}+6 x^{3}+4 x+2 \in \mathbb{Q}[x], c$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个复根．记
$$
\mathbb{Q}[c]=\left\{a_{0}+a_{1} c+a_{2} c^{2}+a_{3} c^{3} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{Q}\right\}
$$
证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上不可约；
（2）对任．意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，有 $\displaystyle g(c) \in \mathbb{Q}[c]$ ；
（3）对任意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，若 $\displaystyle f(x) \nmid g(x)$ ，则仔在 $\displaystyle h(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，使得 $\displaystyle g(c) h(c)=1$ ．
∴。设 $Q$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$x$ 为 $n$ 维实列向量，证明： $\displaystyle 0 \leq x^{T}\left(Q+x x^{T}\right)^{-1} x<1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明f(x)在Q上不可约
使用Eisenstein判别法。取素数p=2，检查系数：首项系数1不被2整除，其余系数6,4,2均被2整除，且常数项2不被2^2=4整除。因此f(x)在Q上不可约。
公式：Eisenstein判别法：存在素数p使得p|a_i (i
提示：注意常数项2被2整除但未被4整除，满足条件。
步骤 2/4
目标：证明g(c)属于Q[c]
由于f(x)不可约且c是根，Q[c]是域Q(c)的向量空间，基为{1,c,c^2,c^3}。对任意g(x)∈Q[x]，用f(x)除g(x)：存在q(x),r(x)∈Q[x]，deg r<4，使得g(x)=f(x)q(x)+r(x)。代入x=c得g(c)=r(c)=a0+a1c+a2c^2+a3c^3∈Q[c]。
公式：多项式除法：g(x)=f(x)q(x)+r(x), deg r
提示：注意余式次数小于4，因此r(c)可表示为基的线性组合。
步骤 3/4
目标：证明存在h(x)使得g(c)h(c)=1
因为f(x)不可约且f(x)∤g(x)，所以gcd(f,g)=1。存在u(x),v(x)∈Q[x]使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1。代入x=c得v(c)g(c)=1。取h(x)=v(x)，则g(c)h(c)=1。
公式：Bezout恒等式：若gcd(f,g)=1，则存在u,v使得uf+vg=1。
提示：注意f(c)=0，因此u(c)f(c)=0。
步骤 4/4
目标：证明不等式0 ≤ x^T(Q+xx^T)^{-1}x < 1
由于Q正定，Q+xx^T也正定，可逆。利用Woodbury矩阵恒等式：(Q+xx^T)^{-1}=Q^{-1} - (Q^{-1}xx^TQ^{-1})/(1+x^TQ^{-1}x)。代入计算得x^T(Q+xx^T)^{-1}x = x^TQ^{-1}x - (x^TQ^{-1}x)^2/(1+x^TQ^{-1}x) = (x^TQ^{-1}x)/(1+x^TQ^{-1}x)。令t=x^TQ^{-1}x≥0，则表达式为t/(1+t)，显然0≤t/(1+t)<1，当t=0即x=0时取等号。
公式：Woodbury恒等式：(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}。
提示：注意Q^{-1}正定，所以t≥0；分母1+t>0。
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