厦门大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
四．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(E-A)=n$ 的充分必要条件是 $\displaystyle A^{2}=A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：必要性：由秩条件推导直和分解
假设 $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(E-A)=n$。对任意向量 $x$，有 $x = Ax + (E-A)x$，所以 $\mathbb{C}^n = \operatorname{Im}(A) + \operatorname{Im}(E-A)$。又因为维数之和为 $n$，所以和是直和：$\mathbb{C}^n = \operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}(E-A)$。
公式：$\mathbb{C}^n = \operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}(E-A)$
提示：注意直和条件需要维数之和等于空间维数，且和等于全空间。
步骤 2/5
目标：必要性：证明 $A(E-A)=0$
由于 $A(E-A) = (E-A)A$，所以 $\operatorname{Im}(A(E-A)) \subseteq \operatorname{Im}(A)$ 且 $\operatorname{Im}(A(E-A)) \subseteq \operatorname{Im}(E-A)$。因此 $\operatorname{Im}(A(E-A)) \subseteq \operatorname{Im}(A) \cap \operatorname{Im}(E-A) = \{0\}$，故 $A(E-A)=0$，即 $A = A^2$。
公式：$A(E-A)=0 \Rightarrow A=A^2$
提示：注意 $A(E-A) = (E-A)A$ 的推导：$A(E-A)=A-A^2$，$(E-A)A=A-A^2$。
步骤 3/5
目标：充分性：由 $A^2=A$ 得 $A$ 和 $E-A$ 幂等且正交
若 $A^2=A$，则 $A$ 是幂等矩阵，且 $(E-A)^2 = E - 2A + A^2 = E - A$，所以 $E-A$ 也是幂等矩阵。同时 $A(E-A)=A-A^2=0$，$(E-A)A=0$。
公式：$A(E-A)=0$，$(E-A)A=0$
提示：幂等矩阵的定义是 $P^2=P$。
步骤 4/5
目标：充分性：利用秩不等式证明等式成立
由 Sylvester 不等式：$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(E-A) \leq n + \operatorname{rank}(A(E-A)) = n$。另一方面，$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(E-A) \geq \operatorname{rank}(A+(E-A)) = \operatorname{rank}(E)=n$。因此 $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(E-A)=n$。
公式：$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(E-A) \leq n + \operatorname{rank}(A(E-A))$
提示：Sylvester 不等式：$\operatorname{rank}(X)+\operatorname{rank}(Y) \leq n + \operatorname{rank}(XY)$，其中 $X,Y$ 为 $n$ 阶方阵。
步骤 5/5
目标：总结：充要条件得证
综合必要性和充分性，$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(E-A)=n$ 当且仅当 $A^2=A$。
提示：注意充分性中也可用直和解释：$\operatorname{Im}(A) \cap \operatorname{Im}(E-A)=\{0\}$ 且 $\operatorname{Im}(A)+\operatorname{Im}(E-A)=\mathbb{C}^n$。
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