厦门大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $V_{1}, V_{2}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间， $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=\operatorname{dim} V_{1}+1$ ，则 $\operatorname{dim} V_{2}-\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：回顾维数公式
对于线性空间$V$的两个子空间$V_1$和$V_2$，维数公式为：
$$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$$
公式：\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)
提示：注意公式中各项的顺序，不要遗漏减号。
步骤 2/4
目标：代入已知条件
已知$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + 1$，代入维数公式得：
$$\dim V_1 + 1 = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$$
提示：代入时注意等式两边对应相等。
步骤 3/4
目标：化简等式
两边同时减去$\dim V_1$，得到：
$$1 = \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$$
提示：移项时注意符号变化。
步骤 4/4
目标：得出结果
因此，$\dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2) = 1$。
提示：最终结果是一个常数，与$V_1$和$V_2$的具体维数无关。
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