厦门大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $f(x)=x^{5}-2020 x^{4}-2019 x^{3}-4041 x^{2}-2020 x-100$ ，则 $f(2021)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察系数特征，尝试代入特殊值
直接计算 $f(2021)$ 较复杂，观察系数与 $2021$ 的关系：$2020=2021-1$，$2019=2021-2$，$4041=2\times2021-1$。考虑将 $x=2021$ 代入原式，并设 $a=2021$，则 $f(a)=a^5 - (a-1)a^4 - (a-2)a^3 - (2a-1)a^2 - (a-1)a - 100$。
提示：注意系数与2021的线性关系，避免直接展开导致计算复杂。
步骤 2/5
目标：展开并合并同类项
展开 $f(a)$：
$$
f(a) = a^5 - (a-1)a^4 - (a-2)a^3 - (2a-1)a^2 - (a-1)a - 100
$$
$$
= a^5 - a^5 + a^4 - a^4 + 2a^3 - 2a^3 + a^2 - a^2 + a - 100
$$
公式：$(a-1)a^4 = a^5 - a^4$，$(a-2)a^3 = a^4 - 2a^3$，$(2a-1)a^2 = 2a^3 - a^2$，$(a-1)a = a^2 - a$
提示：注意符号：每一项展开时负号要分配正确。
步骤 3/5
目标：化简表达式
合并同类项后，所有高次项相互抵消，得到：
$$
f(a) = a - 100
$$
提示：检查是否所有项都正确抵消，特别是 $a^2$ 项：$a^2 - a^2 = 0$。
步骤 4/5
目标：代入数值计算
将 $a=2021$ 代入 $f(a)=a-100$，得：
$$
f(2021) = 2021 - 100 = 1921
$$
提示：计算简单，注意不要算错减法。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，$f(2021)=1921$。
提示：答案应填入空格。
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