厦门大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
三．设 $n$ 维实列向量 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{T}(i=1,2, \cdots, r ; r \leq n)$ ，且 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，$\displaystyle \beta$ 为齐次线性方程组
$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)
$$
的非零解，证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta$ 线性无关．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定线性组合并左乘矩阵A
设存在一组数 $k_1, k_2, \dots, k_r, k_{r+1}$ 使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_r \alpha_r + k_{r+1} \beta = 0$。记矩阵 $A = (a_{ij})_{r \times n}$，则 $\alpha_i$ 是 $A$ 的第 $i$ 行向量（作为列向量），且 $\beta$ 满足 $A\beta = 0$。用 $A$ 左乘上式两边，得 $k_1 A\alpha_1 + k_2 A\alpha_2 + \cdots + k_r A\alpha_r + k_{r+1} A\beta = 0$。由于 $A\beta = 0$，故 $\sum_{i=1}^r k_i A\alpha_i = 0$。
公式：$A\beta = 0$
提示：注意 $A\alpha_i$ 是 $r$ 维列向量，其第 $j$ 分量为 $\alpha_j^T \alpha_i$，即 Gram 矩阵的元素。
步骤 2/5
目标：分析 $A\alpha_i$ 的线性相关性
考虑 Gram 矩阵 $G = (\alpha_i^T \alpha_j)_{r \times r}$，则 $A\alpha_i$ 是 $G$ 的第 $i$ 列。由于 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ 线性无关，Gram 矩阵 $G$ 正定，从而可逆，因此 $G$ 的列向量组 $A\alpha_1, \dots, A\alpha_r$ 线性无关。
公式：$G_{ij} = \alpha_i^T \alpha_j$
提示：Gram 矩阵正定当且仅当向量组线性无关。
步骤 3/5
目标：由线性无关推出系数为零
由 $\sum_{i=1}^r k_i A\alpha_i = 0$ 及 $A\alpha_1, \dots, A\alpha_r$ 线性无关，得 $k_1 = k_2 = \cdots = k_r = 0$。
提示：线性无关的定义：组合为零则系数全为零。
步骤 4/5
目标：反证法处理 $k_{r+1}$
假设 $k_{r+1} \neq 0$，则 $\beta = -\frac{1}{k_{r+1}} \sum_{i=1}^r k_i \alpha_i$，即 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ 线性表示。代入 $A\beta = 0$ 得 $\sum_{i=1}^r k_i A\alpha_i = 0$，与上一步结论矛盾。故 $k_{r+1} = 0$。
提示：注意 $\beta$ 是非零解，所以 $\beta \neq 0$。
步骤 5/5
目标：得出最终线性无关结论
由 $k_{r+1}=0$，原式化为 $k_1 \alpha_1 + \cdots + k_r \alpha_r = 0$，又 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ 线性无关，故 $k_1 = \cdots = k_r = 0$。因此所有系数为零，向量组 $\alpha_1, \dots, \alpha_r, \beta$ 线性无关。
提示：线性无关的定义：组合为零则系数全为零。
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