厦门大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
七．设 $\displaystyle U, V$ 为数域 $F$ 上的有限维线性空间，$\displaystyle \varphi: V \rightarrow U, \psi: U \rightarrow V$ ，且 $\displaystyle \psi \varphi=\operatorname{id}_{V}$ ，证明：$\displaystyle U=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \psi$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件与目标
已知 $U, V$ 是数域 $F$ 上的有限维线性空间，$
\varphi: V \rightarrow U$，$\psi: U \rightarrow V$ 是线性映射，且满足 $\psi \varphi = \operatorname{id}_V$。需要证明 $U = \operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \psi$，即直和分解。
公式：\psi \varphi = \operatorname{id}_V
提示：注意直和需要证明两个子空间的和等于全空间且交为零。
步骤 2/4
目标：证明 $U = \operatorname{Im} \varphi + \operatorname{Ker} \psi$
任取 $u \in U$，令 $v = \psi(u) \in V$，则 $\varphi(v) \in \operatorname{Im} \varphi$。考虑 $u - \varphi(v)$，计算 $\psi(u - \varphi(v)) = \psi(u) - \psi(\varphi(v)) = v - v = 0$，所以 $u - \varphi(v) \in \operatorname{Ker} \psi$。于是 $u = \varphi(v) + (u - \varphi(v)) \in \operatorname{Im} \varphi + \operatorname{Ker} \psi$。因此 $U \subseteq \operatorname{Im} \varphi + \operatorname{Ker} \psi$，而反向包含显然，故 $U = \operatorname{Im} \varphi + \operatorname{Ker} \psi$。
公式：\psi(u - \varphi(\psi(u))) = 0
提示：构造 $v = \psi(u)$ 是关键，注意验证 $u - \varphi(v)$ 属于核。
步骤 3/4
目标：证明 $\operatorname{Im} \varphi \cap \operatorname{Ker} \psi = \{0\}$
设 $x \in \operatorname{Im} \varphi \cap \operatorname{Ker} \psi$，则存在 $v \in V$ 使得 $x = \varphi(v)$，且 $\psi(x) = 0$。于是 $0 = \psi(\varphi(v)) = v$，所以 $v = 0$，从而 $x = \varphi(0) = 0$。因此交只有零向量。
公式：\psi(\varphi(v)) = v
提示：注意 $\psi \varphi = \operatorname{id}_V$ 在 $V$ 上成立，而 $v$ 属于 $V$。
步骤 4/4
目标：由直和定义得出结论
由前两步，$U = \operatorname{Im} \varphi + \operatorname{Ker} \psi$ 且 $\operatorname{Im} \varphi \cap \operatorname{Ker} \psi = \{0\}$，根据直和的定义，$U = \operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \psi$。
提示：直和定义：和空间且交为零。
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