厦门大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
8．设
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 a x_{2} x_{3}
$$
经正交替换 $X=P Y$ 后化为 $f=2 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ，则 $a, b$ 的值分别为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2a x_2x_3$ 对应的矩阵为对称矩阵 $A$，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此
\[ A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -a \\ -1 & -a & 1 \end{pmatrix}. \]
公式：二次型矩阵的构造规则
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵对称。
步骤 2/7
目标：理解正交变换后的标准形
经正交替换 $X=PY$ 后，二次型化为 $f=2y_1^2+2y_2^2+by_3^2$。正交变换保持特征值不变，因此矩阵 $A$ 的特征值应为 $2,2,b$。
提示：正交变换不改变特征值，标准形的系数即为特征值。
步骤 3/7
目标：计算特征多项式
计算 $\det(\lambda I-A)$：
\[ \det(\lambda I-A)=\begin{vmatrix} \lambda-1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-1 & a \\ 1 & a & \lambda-1 \end{vmatrix}. \]
将第2、3列加到第1列：
\[ =\begin{vmatrix} \lambda+1 & 1 & 1 \\ \lambda+1 & \lambda-1 & a \\ \lambda+1 & a & \lambda-1 \end{vmatrix}= (\lambda+1)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-1 & a \\ 1 & a & \lambda-1 \end{vmatrix}. \]
第2、3行减去第1行：
\[ =(\lambda+1)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-2 & a-1 \\ 0 & a-1 & \lambda-2 \end{vmatrix}= (\lambda+1)[(\lambda-2)^2-(a-1)^2]. \]
公式：行列式的性质：列加法、行减法
提示：注意行列式变换的符号变化，这里加法不改变值。
步骤 4/7
目标：得到特征值表达式
由特征多项式 $f(\lambda)=(\lambda+1)[(\lambda-2)^2-(a-1)^2]$，令其为零得特征值：$\lambda_1=-1$，$\lambda_{2,3}=2\pm|a-1|$。
公式：特征多项式等于零
提示：注意平方差公式，得到两个根。
步骤 5/7
目标：匹配已知特征值
已知特征值为 $2,2,b$，而计算出的特征值有 $-1$ 和 $2\pm|a-1|$。由于 $2$ 出现两次，$-1$ 必须等于 $b$，否则特征值集合不匹配。因此 $b=-1$。
提示：注意特征值的重数，$2$ 必须出现两次。
步骤 6/7
目标：求解参数 a
此时特征值应为 $2,2,-1$，即 $2\pm|a-1|$ 中一个是 $2$，另一个是 $-1$。
- 若 $2+|a-1|=2$，则 $|a-1|=0$，$a=1$，此时 $2-|a-1|=2$，得特征值 $2,2,-1$，符合。
- 若 $2-|a-1|=2$，同样得 $a=1$。
- 若 $2+|a-1|=-1$ 则无解；若 $2-|a-1|=-1$ 则 $|a-1|=3$，$a=4$ 或 $a=-2$，此时 $2+|a-1|=5$，得特征值 $5,2,-1$，与 $2,2,-1$ 矛盾。
因此只有 $a=1$。
提示：注意绝对值方程的解，并验证重数。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
综上，$a=1$，$b=-1$。
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