厦门大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
八．设 $\displaystyle \varphi$ 为数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，设 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in V$ ，记
$$
F[\varphi] \alpha=\{f(\varphi) \alpha \mid f(\lambda) \in F[\lambda]\}
$$
设 $\displaystyle \varphi$ 限制在 $\displaystyle F[\varphi] \alpha$ 上的线性变换为 $\displaystyle \varphi_{1}$ ，若 $\displaystyle \varphi_{1}$ 的极小多项式 $\displaystyle m_{\varphi_{1}}(\lambda)$ 的标准分解式为
$$
m_{\varphi_{1}}(\lambda)=p_{1}^{e_{1}}(\lambda) p_{2}^{e_{2}}(\lambda) \cdots p_{t}^{e_{t}}(\lambda)
$$
其中 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 两两互素，且对每个 $\displaystyle 1 \leq i \leq t$ ，都有 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 首一且不可约，$\displaystyle e_{i} \geq 1$ ，则存在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ ，使得
（1）$\displaystyle F[\varphi] \alpha_{i}=\operatorname{Ker} p_{i}^{e_{i}}\left(\varphi_{1}\right)$ ；
（2）$\displaystyle F[\varphi] \alpha=F[\varphi] \alpha_{1} \oplus F[\varphi] \alpha_{2} \oplus \cdots \oplus F[\varphi] \alpha_{t}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义不变子空间与限制变换
设 $W = F[\varphi]\alpha$，则 $W$ 是 $\varphi$-不变子空间，因为对任意 $f(\varphi)\alpha \in W$，有 $\varphi(f(\varphi)\alpha) = (\lambda f(\lambda))|_{\lambda=\varphi}\alpha \in W$。令 $\varphi_1 = \varphi|_W$，即 $\varphi_1$ 是 $\varphi$ 在 $W$ 上的限制。
公式：W = F[\varphi]\alpha, \quad \varphi_1 = \varphi|_W
提示：注意 $W$ 是循环子空间，由单个向量 $\alpha$ 生成。
步骤 2/5
目标：应用准素分解定理
已知 $m_{\varphi_1}(\lambda) = \prod_{i=1}^t p_i^{e_i}(\lambda)$，其中 $p_i(\lambda)$ 两两互素、首一不可约。根据准素分解定理，$W$ 可分解为 $\varphi_1$-不变子空间的直和：$W = \bigoplus_{i=1}^t \operatorname{Ker} p_i^{e_i}(\varphi_1)$。令 $W_i = \operatorname{Ker} p_i^{e_i}(\varphi_1)$，则每个 $W_i$ 是 $\varphi_1$-不变子空间，且 $\varphi_1$ 在 $W_i$ 上的极小多项式为 $p_i^{e_i}(\lambda)$。
公式：W = \bigoplus_{i=1}^t \operatorname{Ker} p_i^{e_i}(\varphi_1)
提示：准素分解定理要求极小多项式分解为互素因子的乘积，这里条件已满足。
步骤 3/5
目标：利用循环子空间性质
由于 $W = F[\varphi]\alpha$ 是循环子空间，存在向量 $\alpha \in W$ 使得 $W = F[\varphi]\alpha$。根据循环子空间的准素分解，存在 $\alpha_i \in W_i$ 使得 $W_i = F[\varphi]\alpha_i$。具体地，由 $W$ 的循环性，存在多项式 $f_i(\lambda)$ 使得 $\alpha_i = f_i(\varphi)\alpha$ 且 $W_i = F[\varphi]\alpha_i$。
公式：\alpha_i = f_i(\varphi)\alpha, \quad W_i = F[\varphi]\alpha_i
提示：注意 $\alpha_i$ 的选取依赖于 $W$ 的循环性，需确保 $\alpha_i$ 生成 $W_i$。
步骤 4/5
目标：验证子空间相等关系
由构造，$F[\varphi]\alpha_i = W_i = \operatorname{Ker} p_i^{e_i}(\varphi_1)$，因此结论（1）成立。同时，$W = \bigoplus_{i=1}^t W_i = \bigoplus_{i=1}^t F[\varphi]\alpha_i$，即 $F[\varphi]\alpha = \bigoplus_{i=1}^t F[\varphi]\alpha_i$，结论（2）成立。
公式：F[\varphi]\alpha_i = \operatorname{Ker} p_i^{e_i}(\varphi_1), \quad F[\varphi]\alpha = \bigoplus_{i=1}^t F[\varphi]\alpha_i
提示：直和分解中，各子空间的和是直和，因为准素分解给出直和。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，存在 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_t$ 满足所述性质。
提示：本题主要考察准素分解与循环子空间的结合应用。
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