厦门大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．$\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \\ 5 & 4 & 3 & 2\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：初等行变换化简行列式
将第1行的-1倍加到第2行和第3行，再将第1行的-5倍加到第4行，得到：
\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 2 & 6 & 12 \\
0 & 6 & 24 & 60 \\
0 & -6 & -12 & -18
\end{vmatrix}
\]
提示：注意行变换不改变行列式的值，但列变换会改变符号。
步骤 2/5
目标：按第一列展开
按第一列展开，由于第一列只有第一个元素非零，行列式等于该元素乘以其余子式：
\[
D = 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 6 & 12 \\
6 & 24 & 60 \\
-6 & -12 & -18
\end{vmatrix}
\]
公式：行列式按一行（列）展开定理
提示：展开时注意符号：元素位置为(1,1)，符号为正。
步骤 3/5
目标：提取公因子
从第1行提取公因子2，第2行提取公因子6，第3行提取公因子-6：
\[
D = 2 \cdot 6 \cdot (-6) \cdot \begin{vmatrix}
1 & 3 & 6 \\
1 & 4 & 10 \\
1 & 2 & 3
\end{vmatrix}
= -72 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 3 & 6 \\
1 & 4 & 10 \\
1 & 2 & 3
\end{vmatrix}
\]
公式：行列式提取公因子性质
提示：提取公因子时，每行只能提取该行的公因子，不要混淆。
步骤 4/5
目标：计算三阶行列式
使用对角线法则或展开法计算三阶行列式：
\[
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 6 \\
1 & 4 & 10 \\
1 & 2 & 3
\end{vmatrix}
= 1 \cdot (4 \cdot 3 - 10 \cdot 2) - 3 \cdot (1 \cdot 3 - 10 \cdot 1) + 6 \cdot (1 \cdot 2 - 4 \cdot 1)
= (12 - 20) - 3 \cdot (3 - 10) + 6 \cdot (2 - 4)
= -8 - 3 \cdot (-7) + 6 \cdot (-2)
= -8 + 21 - 12 = 1
\]
公式：三阶行列式展开公式
提示：注意符号：第二项系数为负，第三项为正。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
将三阶行列式的值代入：
\[
D = -72 \times 1 = -72
\]
提示：检查计算过程，确保没有算术错误。
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